Analisis De Vibraciones

Sistema de un solo grado de libertad.
Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad.
Por Ej.:









Movimiento armónico.El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos sísmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “” es el periodo de oscilación.
Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer larelación:
x(t) = x(t + )




El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de películasensible a la luz que es movida a velocidad constante.
Este movimiento registrado en la película puede representarse por medio de la ecuación:

Donde :
A = Amplitud de oscilación, medida desde su posición de equilibrio.
= Periodo y se repite cuando
Ecuación del movimiento – frecuencia natural.
El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se suponedespreciable la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.








Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una propiedad del sistema.
La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.
La posición delequilibrio estático:
(1)
Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son:
En el resorte
Debido al peso
Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo.


Según (1)

Por tanto: (2)
Note que elhecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida “x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad y a la fuerza estática del resorte de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente debida al desplazamiento “x”.

(3)
La frecuencia natural circular será:

La ecuación (3) queda por tanto:(4)
El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.
Note que satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares.
La solución a esta ecuación es de la forma:
(5)
Derivando dos veces:
(6)
(7)
Reemplazando (5) y (7) en(4)



Como: son soluciones linealmente independientes
Entonces también son soluciones
Y también será: (8)

Pero: (9)
(10)
(9) y (10) en (8)



(11)
Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.
Suponiendo que:
Condiciones de contorno
o Condicionesiniciales
Derivando (11)
(12)
Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B
En (11)
En (12)
Reemplazando las cts. A y B en (11)

Donde frecuencia natural circular
El periodo natural de oscilación es: pero:
Por tanto: o también:
La frecuencia natural:


Estas cantidades pueden...