analisis estructural

MÉTODO MATRICIAL
Introducción
Utilizaremos el ejemplo de la figura como referencia para la exposición del Método
Matricial. Aunque se trata de un caso bidimensional (2D), es suficiente para la explicación
de los fundamentos del método. Al final del tema se expondrán las peculiaridades del caso
tridimensional (3D).
En los recuadros aparecen numerados los nudos (puntos de unión de dos o másbarras). Y
en cada nudo los tres grados de libertad correspondientes al plano. Los grados de libertad
pueden referirse a desplazamientos y giros, o bien a fuerzas y momentos. A efectos de
simplificar el lenguaje y la notación, en adelante diremos desplazamientos, entendiendo
desplazamientos o giros indistintamente, y fuerzas, entendiendo fuerzas o momentos
indistintamente. Tanto losdesplazamientos como las fuerzas en los nudos, están referidos a
los ejes X-Y (coordenadas globales).
La expresión que relaciona las fuerzas con los desplazamientos es de la forma:
F=KU
donde K es la matriz de rigidez del sistema. El objetivo final del método es llegar a conocer
todos los desplazamientos y, en función de los mismos, las solicitaciones en los extremos
de cada barra.
2
3

1

YL6

Y

XL

8
9

5

2

1

4

3

4

7

14

11

12

5

15
13

10

X
.

1

Para cada barra, consideraremos unos ejes XL-YL (coordenadas locales). La relación entre
las fuerzas y los desplazamientos en los extremos de cada barra es de la forma:
FL=KLUL
donde KL es la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales.
Posteriormente habrá que ensamblarbarras; es decir, componer la estructura a partir de sus
barras. Para ello es necesario que todas las fuerzas y todos los desplazamientos estén
referidos a un mismo sistema de ejes. Para ello, una vez calculada la matriz de rigidez de
cada barra en coordenadas locales, hemos de realizar una rotación para referir dicha matriz
a coordenadas globales. De igual forma, las fuerzas y losdesplazamientos han de quedar
referidos a coordenadas globales. En cada nudo se han de cumplir las condiciones de
equilibrio; para ello, la fuerza total en el nudo ha de ser la suma de las fuerzas que actúan
sobre cada una de las barras que concurren en él. También se han de cumplir las
condiciones de compatibilidad, por lo que el desplazamiento del nudo debe ser único, e
igual al desplazamiento en esepunto de cada una de las barras concurrentes.

Matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales
Los términos de la matriz KL son los coeficientes de rigidez kij, que relacionan la fuerza
aplicada según el grado de libertad i con el desplazamiento según el grado de libertad j, en
el supuesto de que los desplazamientos en los grados de libertad ≠j sean nulos. Así:
fi = kij uj
expresa lafuerza que se produce en el grado de libertad i cuando realizamos un
desplazamiento unitario según el grado de libertad j.
Veámoslo sobre la barra de la figura, en la que consideramos los seis grados de libertad
posibles:
YL
2

5
3

6
1

1

4

2

XL

Consideremos j=1, produciendo un desplazamiento unidad según el eje X en el extremo
izquierdo de la barra, uj=1. La barraexperimenta un acortamiento, con lo que aparecen unas
fuerzas de compresión.
2

u1=1

f1= k11 u1

f4

Para deducir k11, de la ley de Hooke:

∆L =

FL
EA
EA
∆L ; k11 =
; F=
EA
L
L

De la expresión f4= k41u1 , considerando que es en 1 donde se produce el desplazamiento,
resulta:

k 41 = −

EA
L

en concordancia con el criterio de signos elegido. El resto de las ki1 seráncero.
Considerando ahora el grado de libertad 2 (j =2):

j = 2, u2=1

u2=1

En la figura se puede apreciar como se deformaría la barra, apareciendo unos momentos
asociados la deformación, que son fácilmente calculables mediante las fórmulas de
deformaciones en vigas. De:

M =

6 EI
∆
L2

para ∆=1, resulta:

3

M3= k32 u2

M6= k62 u2

k 32 =

6 EI
L2

y k 62 =

6 EI...