Analisis Factorial

19/10/2011

Profesor Ing. Williams Hidalgo, MBA

Análisis factorial
Técnica de reducción de la dimensionalidad de los datos contenidos en una matriz con p variables. Para ello se identifican un reducido número de factores F, siendo el número de factores menor que el número de variables. Los factores representan a las variables originales, con una pérdida mínima de información.

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Usos
Este tipo de análisis es útil para la exploración de un conjunto extenso de datos. Su objetivo general es estudiar la intercorrelación de un elevado número de variables, mediante su agrupación en factores comunes, de manera que las variables que integran cada uno estén altamente correlacionadas.

El modelo del análisis factorial
El modelo matemático del Análisis Factorial formulaque cada una de las p variables originales Xi es una combinación lineal de los m < p variables no observables o factores comunes Fi y de una única variable no observable o factor específico ei, i=1,2,…p.

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El modelo del análisis factorial
El investigador debe medir estas variables Xi sobre n individuos, obteniendo la denominada matriz de datos.

El modelo del análisisfactorial
 Matriz de datos
Casos 1 2 3 ... i ... n X1 X11 X21 X31 ... Xi1 ... Xn1 X2 X12 X22 X32 ... Xi2 ... Xn2 X3 X13 X23 X33 ... Xi3 ... Xn3 ... ... ... ... ... ... ... ... Xj X1j X2j X3j ... Xij ... Xnj ... ... ... ... ... ... ... ... Xp X1p X2p X3p ... Xip ... Xnp

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Modelo del análisis factorial
X 1 -μ 1 X 2 -μ 2 ... X i -μ i ... Xp-μ p = a 11 F 1 = a 21 F 1 ... = a i1 F1 ... = a p1 F 1 + a 12 F 2 + a 22 F 2 ... + a i2 F 2 ... + a p2 F 2 + ... + + ... + ... + ... + ... + ... + a 1k F k a 2k F k ... a ik F k ... a pk F k + ... + + ... + ... + ... + ... + ... + a 1m F m a 2m F m ... a im F m ... a pm F m + + ... + ... + e1 e2 ... ei ... ep

Donde: X1, X2, …,Xp : Variables observables F1, F2, …, Fm : Factores comunes no observables o latentes, m < p e1, e2, …, ep: Factores únicos o específicos para cada una de las variables, i =1,2,…,p ahi : cargas factoriales, i=1,2,…,p, h ≤ m

Modelo del análisis factorial
El modelo factorial en su forma matricial se expresa de la siguiente manera:
X1 X2 ... Xp
p 1 2

a11 ,...,a1m a21 ,...,a 2 m ... a p 1 ,...,a pm

F1 F2 ... FM

e1 e2 ... ep

X

p 1

p 1

Ap

m

F

m 1

e

p 1

donde: X1,X2, …,Xp : Variables observables F1, F2, …, Fm: Factores comunes no observables o latentes, m < p e1, e2, …, ep : Factores únicos o específicos para cada una de las variables, i =1,2,…,p ahi : cargas factoriales, i=1,2,…,p, h ≤ m

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Suposiciones
El vector de medias de los Factores comunes es cero,

E(F )

0 ( m 1)

La matriz de varianzas y covarianzas del vector defactores comunes es la identidad,

Cov ( F )

I (m

m)

El vector de medias del vector de factores específicos es cero,

E ( e ) 0( p 1)
Los factores únicos tienen: Cov(ei ; ej) = 0 i j. Los factores únicos y comunes tienen: Cov(Fm ; ei) = 0

Pasos en el análisis factorial
1. Calcular la matriz de correlaciones entre

todas las variables (matriz R) 2. Extraer de los factores necesariospara representar los datos 3. Rotar los factores con el fin de facilitar su interpretación. Representar gráficamente 4. Calcular las puntuaciones factoriales de cada caso

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Procedimiento en SPSS

Procedimiento en SPSS

 El SPSS nos proporciona:
    

El coeficiente de correlación entre cada par de variables Los p-value asociados a los coeficientes de correlaciónEl valor del determinante de la matriz de correlaciones R El índice KMO El test de Esfericidad de Bartlett - La medida de adecuación de la muestra, MSA, en la matriz antimagen

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Matriz de correlaciones
Calcular la matriz de correlaciones entre todas las variables que entran en el análisis. De tal forma que tendremos una matriz del tipo:
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X1 1 0.5 0.65 0.7...