Analisis Grafico De Funciones

“ANÁLISIS GRAFICO DE FUNCIONES”
Se realizará un análisis completo de todos los aspectos relevantes de la gráfica de las funciones:
1) Dominio.
2) Imagen.
3) Ceros.
4) Conjuntos de Positividad y de Negatividad.
5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.
6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.
7) Ordenada al Origen.
8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.
9) Rectas Asíntotas yPolos.
ANÁLISIS DE FUNCIONES
1) Dominio natural:
El "dominio natural" de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida. O sea es el conjunto de todos los valores de "x" a los se le asigna un valor de "y".
Si una función está dada gráficamente, su dominio se puede obtener proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobre eleje "x", como se muestra en el gráfico que sigue.
El conjunto así obtenido es el dominio de la función.

Si la función está dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio natural se puede obtener aún sin graficar según los siguientes criterios:
a) Funciones Polinómicas:
En todas las funciones polinómicas el dominio está formado por todos los números reales; pues siempre esposible elevar un número real a una potencia de exponente natural, luego multiplicarla por otro real, y por último sumar o restar con otro término similar.

b) Funciones Racionales:
La función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en forma genérica de grados "m" y "n" respectivamente.
En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de números realessalvo los valores aislados de "x" que hacen cero al polinomio denominador. Esto es así debido a que no podemos "nunca" dividir por cero.

En la siguiente gráfica se muestra una función racional, y se observa que su dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la función presenta una discontinuidad llamada polo o asíntota vertical: al acercarnos más y más a x = 2 lafunción crece o decrece indefinidamente (crece hasta +∞ o decrece hasta −∞).
Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1.

c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice Par:

La función irracional compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de una expresión que depende de "x", tiene como dominio el conjunto de valores de "x" en los cuales el radicando no sea negativo(puede ser positivo o cero).
En caso contrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la función, pues la raíz cuadrada (o de índice par) de un número negativo no tiene resultado real, como vimos en la guía N° 1 "Conjuntos Numéricos".

En el caso de que la expresión irracional (de índice par) se halle en el denominador, habrá que exigirle al radicando que sea estrictamente mayora cero, pues de lo contrario al hacerse cero dicho radicando se podrá extraer su raíz que también es cero, pero luego no se puede dividir por cero y la función no existirá en dicho punto.

2) Imagen de una Función:

La imagen de una función es el conjunto de valores que toma la función "y" cuando la variable independiente "x" toma todos los valores del dominio.
Gráficamente se puedeobtener proyectando sobre el eje "y" todos los puntos de la "curva" que representa a la función.
Las funciones lineales de pendientes distintas de cero (rectas oblicuas) tienen como imagen el conjunto de todos los números reales.

Las funciones cuadráticas en cambio tienen como imagen un intervalo de longitud infinita desde un cierto punto "Yv" hasta infinito si el coeficiente cuadrático "a" espositivo; o bien desde "−∞" hasta "Yv" si "a" es negativo. Dicho intervalo siempre es cerrado en el extremo finito "Yv", pues el vértice pertenece a la función.

En ocasiones se pide encontrar el conjunto imagen de una función en la cual se restringe o limita su dominio natural a un conjunto prefijado.
Por ejemplo en la parábola siguiente: y = x2 + 2 x − 1, se especifica que el dominio debe...