analisis matematico 3

NOLAN JARA JARA
LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea f: D

R

R /y = f(x) es continua en [a,b]
n
lim
f ( xi* ) xi Si
Max xi
0 i1

b

f ( x)dx
x a

Donde:
Si :

xi xi 1 ; xi*

xi

x1

x2

.....

b

xn

xi

0, n

xi

b a
; i 1,2, n
,
n

b a
n

n

f ( xi) xi ; xi

n

x a

xi 1 , xi ; Para que

xi

lim

f ( x)dx

Dom(f) entonces:

a i

i 1

ba
n

y = f(x)......

R
xi

b

lim

f ( x)dx

n

f a i

n

x a

i 1

Observación: Si f ( x)

b a
n
b

0 x [ a, b]

x a

b a
n

f ( x)dx

A( R)

A( R): Área de la región R limitada superiormente por la curva : y = f(x)
inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas verticales x = a, x = b.
3

x 2 dx . Solución: f ( x)

Ejemplo 1: Calcularx2;a

0; b

x 0

3
; f ( xi )
n

xi
b

f ( x)dx
x a

27

lim
n

xi

lim
n
1
n3

3
i
n

2

f ( xi) xi
i 1

i2
i 1

27

lim
n

b a
n

2

n

n

3; xi

lim
n

n
i 1

9 2 3
(i )
n2
n

1 n(n 1)(2n 1)
6
n3

1

NOLAN JARA JARA

2n 3

9 lim
2n

3n 2
n3

n

3

9
( 2)
2

x 2 dx

9;

9

x 0

1

Ejemplo 2: 2 xdx . Solución: f ( x)

2x ; a

0; b 1; xi

x 0

1

2 xi

f ( xi )

lim

2 x dx

2i (1/ n )

=

=

1
n

n
lim

2

i (1 / n )

i 1

1
t t2
n

n

lim 1
=
n
n

n

t3

f ( xi ) xi =

n

x 0

lim

n
i 1

n

2

b a
n

lim
n

1
; xi
n
n

2 i (1 / n )
i 1

i

1
n

1
n

i

1
n

;t

2

1

n

i 1

.... t n=

lim

1
t 1 t t2
n

n

.... t n

1

n

1 t
1 t
lim 1 1
1
2n
n
n
1 21/ n
lim
z

0

2

z

lim

1

z 2z

1
n

;

z

z

1

0

0

1
ln 2

1

2z

2

z

1
z

4

Ejercicio:

x 2 dx

4x
0

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
b

I) Si F ´(x)

f ( x)dx

f ( x ) x [ a, b]

b

F ( x)

x a

= F (b) F (a )

x ax

II) Si G ( x)

f (t )dt
t a

u( x)

En general, si: G ( x )

t

a

x

d
dx

G´(x)

f (t )dt

f (x)

t a

f ( t ) d t G´( x)

d
dx

u ( x)
t a

f (t )dt

f (u ).u´( x)

Propiedades de la Integral Definida:
Sean f, g: R R funciones integrables en [a,b] y sea k: constante real
1)
2)
3)

b
a
b
a
a
b

kf ( x)dx
( f ( x)

k

c

f ( x)dxg ( x))dx
b

f ( x)dx

4) Si: a

b
a

a

b

b
a

f ( x)dx

b
a

g ( x)dx

f ( x)dx
b
a

f ( x)dx

c
a

f ( x)dx

b
c

f ( x)dx

2

NOLAN JARA JARA
b

5)

a

b

f ( x)dx

a

f ( x) dx

a

f ( x)dx

6)

0

a
a

7) Si f es par

a

f ( x)dx

2 f ( x )d ( x )

a

0

a

8) Si f es impar

f ( x)dx

0

a
b

9) Sif ( x)

b

f ( x)dx

g ( x ) x [ a, b]

g ( x)dx

a

a
b

10) Si m

f ( x)

M

m(b a )

x [ a, b]

f ( x)dx

M (b a )

a

11) C

a, b tal que :

b

1

f (c )

b a

f ( x)dx
a

4

x dx . Solución: f ( x)

Ejercicio: 1)

x ; x [0, 4]

x 0

0; 0 x 1
1;1 x 2
2; 2

x

3

3; 3

x

4

4; x

f ( x)

4

0
0
4

1

x dx
x 02

0dx

3

1dx

0

2dx

1

1 2(1) 3(1)

4

4

3dx

2

3

4dx

2

0

x1

2x

3
2

3x

4
3

0

4

6

3

x( x 1) dx . Solución: f ( x)

2)

x( x 1) ; x [0,3]

x 0

x2

(1 x) x

x; x [0,1

f (x)

x2

x( x 1)
3

1

x( x 1) dx
x 0

x; x [1,3]
3

(x
x 0

2

x )dx

(x
x 0

2

x)dx

x2
2

x3
3

1

x 0x3
3

x2
2

3

x 1

3

NOLAN JARA JARA
1
3
1 2
1 2
x (3 2 x) x 0
x (2 x 3) x
6
6
1 1
29
.
(27 1)
6 6
6

1
3x 1

2
ax

f (t )dt

3) Si
t 0

1
(3 2)1 0(3,0)
6

1

1
9(6 3) 1(2 3)
6

ax; Hallar los valores de a de modo que; f

1
4

16
3

2
ax 2

a

Solución:
1
3x 1
t 0

d
dx

d 2
dx ax

f (t )dt

f

1
3x 1

0

f...