analisis matematico limites

Análisis Matemático
Límites: Idea intuitiva de límite de una función en un punto
LIMITE DE UNA FUNCION
Idea intuitiva de límite de una función en un punto
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en puntos muy próximos a x0.
Idea intuitiva de límite
1. Considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x seaproxima al valor 3?
Resolución:
- Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.
Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:
- Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a3, mayor es la proximidad de f(x) a 7.
Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7, y se escribe
 (2.x + 1) = 7
LIMITES LATERALES
- El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.
Para expresar el límite por izquierda se escribe  f(x)
-El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.
Para expresar el límite por derecha se escribe  f(x)
Relación entre el límite y los límites laterales de una función
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites laterales y coinciden:
 f(x) = l ⇔  f(x)=  f(x) = l
Si se verifica esto, y l es un número finito, se dice que la función es convergente.
En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
 (2.x + 1) = (2.x + 1) = 7
PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE FUNCIONES
Si una función f(x) tiene límite cuando x → x0,el límite es único.
Esto se puede escribir también así:
Si  f(x) = l y  f(x) =l´ ⇒ l = l´
Ejercicio: cálculoaproximado de límites
Sea la función definida por f(x) =
x², si x ≠ 2
7, si x = 2
¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?
Resolución:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de valores para puntos de abscisa próximos a 2:
Se observa que cuando x tiende a 2,tanto por la derecha como por la izquierda, la función tiende al valor 4. Por lo tanto, f(x) =  f(x) = 4 ⇔  f(x) = 4
Sea la función f(x) =
1, si x < 3
x - 2, si x > 3
definida en ℜ - {3}
¿A qué valor se aproxima la función cuando x se aproxima a 3?
Resolución:
Cuando x se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, la función se aproxima al valor 1. Por lo tanto,
 f(x) = 1
Obsérvese cómo se pone de relieve que el valor del límite de una función en un punto esindependiente del valor que la función tome en ese punto.
En este ejemplo, el límite de la función en el punto 3 es 1 y sin embargo, la función ni siquiera está definida en él.
LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
1- Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0,hacia el valor l, o que su límite en x0 es l, y se escribe  f(x) = l, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden valores de lafunción muy próximos a I.
La definición anterior se puede concretar más:
2- Una función f(x) converge hacia I en x0,o tiene por límite I en x0,cuando para
todo entorno de I de radio ε, E(I, ε) = (I - ε, I + ε), hay un entorno de x0de radio δ ,
E(x0, δ) = (x0 - δ , x0 + δ),tal que para cualquier x de E(x0, δ),su imagen f(x) está
en E(I, ε).
O bien:
3- Una función f(x) converge hacia l en x0, otiene por límite l en x0, cuando para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ ⇒ | f(x) - l | < ε
Límites infinitos
Una función es divergente cuando su límite es + ∞ó -∞.
Se estudiarán los siguientes límites:
1-  f(x) = ±∞
2-  f(x) = l
3-  f(x) = ±∞
Caso 1.  f(x) = -∞
Sea la función f(x) = 1 / x².
Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0,...