Analisis Numerico

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CONTINUACION 1.11
Donde Δv yΔt son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la velocidad algún tiempo mas tarde ti+1. Observe que dv/dt≅ Δv/Δt es finito. Recordando de calculo que
dvdt=lim∆≅∆v∆t
La ecuación (1.11) representa el proceso inverso.La ecuación (1.11) se denomina una diferencia finita dividida y es una aproximación a la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación (1.9) da
v(ti+1)-v(ti)ti+1ti=g-cmv(ti)
FIGURA 1.4 Uso de diferencias
Finitas para aproximar
La primera derivada de v
Con respecto a


v(ti+1)=v(ti)[g-cmv(ti)](ti+1-ti) (1.12)


Nótese que el término en corchetesque esta del lado derecho es la propia ecuación diferencial [ecuacion1.9]. Esto es, da un significado al calculo de la velocidad de cambio o al pendiente de v. así, la ecuación diferencial ha sido transformada en una ecuación que puede ser usada para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores v y t. si se da un valor inicial para la velocidad enalgún tiempo ti, se puede calcular fácilmente la velocidad en un tiempo posterior ti-1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 puede utilizarse para calcular la velocidad e nti+2 y así sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo.
Nuevo valor= viejo valor + pendiente x tamaño del paso

EJEMPLO 1.2 solución numérica del problema de la caída de un paracaidista
Enunciado del problema.Efectuar el mismo calculo que en el ejemplo 1.1 pero usando la ecuación (1.12) para calcular la velocidad. Emplea un tamaño de paso de 2 s.
Solución al principio de los cálculos (ti=0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, se puede usar la ecuación (1.12) para calcular la velocidad en ti+1=2 s.v=0+9.8-12.568.102=19.60ms

Para el siguiente intervalo (de t=2 a 4 s), se repite el calculo con el resultado
v=19.809.8-12.568.119.602=32.00ms
Se continúa con los cálculos de manera similar para obtener valores adicionales, como en la tabla siguiente
T,s | V, m/s |
0 | 0.00 |
2 | 19.60 |
4 | 32.00 |
6 | 39.85 |
8 | 44.82 |
10 | 47.97 |
12 | 49.96 |
∞ | 53.39 |

Losresultados se grafican en la figura 1.5, junto con la solución exacta. Como es evidente, la solución por un método numérico se aproxima bastante bien a la solución exacta. Sin embargo, debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una función que es continuamente curva, hay algunas diferencias entre los 2 resultados. Una forma de reducir estas diferencias consiste en usar un menorintervalo de cálculo. Por ejemplo, aplicar la ecuación (1.12) en intervalos de 1-s redundaría en un error menor, ya que los segmentos de recta estarían un poco más cerca de la solución verdadera. De hacer cálculo manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez mas pequeños haría poco practicas tales soluciones numéricas. Sin embargo, con la ayuda de cálculos; por tanto, se puedemodelar con exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener que resolver exactamente la ecuación diferencial
Como se vio en el ejemplo anterior, se paga un costo computacional para obtener un resultado numérico mas preciso. Cada partición a la mitad del tamaño de paso para lograr más precisión nos lleva a duplicar el número de cálculos. Por consiguiente, sabemos que existe un trueque entrela exactitud y la cantidad de operaciones y el tiempo de procesamiento. Este tipo de criterios son de gran importancia en los métodos numéricos y constituyen un tema importante en este libro. En consecuencia, se ha dedicado el epilogo de la parte uno para hacer una introducción a mas elementos de juicio de este tipo
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