Analisis real - ejercicios

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo semestre 2011




Tarea 1
Análisis Real – MAT2515
Pamela Naranjo López


I. Ejercicios 2(a)

5. En un espacio métrico (X,), e cuando . Pruebe que

Solución:
Como es una métrica, sabemos que cumple desigualdad triangular, entonces:
i)

Luego:


ii) Por otra parte,Luego:


Entonces, de i) y ii) se desprende que:


y si ahora aplicamos límite cuando se tiene que:

Es decir:


Por lo que cuando .

7. Pruebe que las métricas en X son equivalentes si existen constantes tales que:

para todo . Dé un ejemplo para mostrar que el recíproco es falso.

Solución:
Para mostrar que las métricas son equivalentes, debemos mostrar que si una sucesiónconverge en una métrica, también converge en la otra.

i) Sea tal que cuando en (X,).
Pd: en (X,).
Sabemos que existe tal que:

Luego,

Y aplicando límite cuando se tiene que:


Es decir, cuando , por lo que en (X,).

ii) Sea tal que cuando en (X,).
Pd: en (X,).
Sabemos que existe tal que:

Luego,

Y aplicando límite cuando se tiene que:


Es decir, cuando(ya que ), por lo que en (X,).

Ahora, un ejemplo para mostrar que el recíproco es falso es considerar las siguientes métricas:


Ambas métricas son equivalentes, pero no existen constantes que satisfagan la condición anterior.

II. Ejercicios 2(b)

2. Pruebe que la métrica discreta no proviene de una norma.

Solución: (Demostración por contradicción)
Supongamos que proviene de unanorma. Luego, la norma cumple que:




y la métrica discreta debe cumplir que:

Entonces, tomemos , , y :

Luego, si , entonces , y por lo tanto .
Pero por definición de la métrica discreta
Por lo tanto, la métrica discreta no proviene de una norma.
5. El espacio T son las sucesiones de números complejos tales que convergen. Verifique que

a) es una métrica en T
b) que lamétrica proviene de una norma y
c) que a esa norma le corresponde el producto interno:


Solución:
a) Para mostrar que es una métrica en T, hay que mostrar que la métrica está bien definida, lo cual es trivial, ya que en T, convergen, por lo que la métrica nunca será infinito. Luego, basta demostrar las propiedades de una métrica:
i) Pd:
Sean arbitrarios.
Si x=y se ve claramente que

Sientonces:

Lo que implica que y por lo tanto x=y.
Si , significa que en al menos una componente de x e y son diferentes, y por lo tanto será distinto de cero. Ahora, por la definición de , será positivo porque es la raíz cuadrada de la suma de números positivos (ya que es el módulo al cuadrado de un complejo, lo que es un número positivo).
Luego M1 se cumple.
ii) Pd:
Sean arbitrarios.Sabemos que:




Luego M2 se cumple.
iii) Pd:
Sean arbitrarios. Sabemos que:

Queremos demostrar que:

lo que es equivalente a demostrar que:

Pero:

Luego, la desigualdad que queremos probar es la siguiente:


Sea

Por como está descrita w(t) es una función cuadrática positiva, por lo que el discriminante de w(t) será menor o igual a cero (será una parábola que abre haciaarriba). Entonces:


Luego el discriminante será:

Por lo tanto:

Luego, al aplicar raíz cuadrada se cumple que:


Por lo tanto se cumple que:

y entonces:


Luego M3 se cumple.
Por lo tanto, es una métrica en T.

b) Si proviene de una norma, entonces

Por lo tanto, se deduce que la norma de la que proviene es:

Entonces hay que demostrar que lo anterior correspondeefectivamente a una norma:
i) Pd:
es trivial por las propiedades del módulo al cuadrado de un complejo y la suma de números no negativos.
ssi x=0. Si x=0, implica que para todo n, y por lo tanto se tendrá:

Por otra parte si entonces

Lo que implica que para todo n, y por ende x=0.
Luego, se cumple N1.
ii) Pd:
Sean arbitrarios. Entonces:

Pero, por lo mostrado anteriormente:

Es...