Analisis real

An´lisis Real. a
Roberto Cabrales Patricio Cumsille

Grupo de Matem´ticas Aplicadas a Departamento de Ciencias B´sicas a Facultad de Ciencias Universidad del B´ ıo-B´ ıo

Mayo 17 de 2008

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´ INDICE

´ Indice
1. Preliminares 1.1. Funciones y Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2. Intervalos y Puntos deAcumulaci´n 2.1. Intervalos encajados (anidados) . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Puntos de acumulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3. Conjuntos abiertos y cerrados en R 4. Sucesiones 4 4 6 7 8 9 10 12

4.1. Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2

´ INDICE

4.2. Ejemplos 5. Tareas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16

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1Preliminares

1.
1.1.

Preliminares
Funciones y Sucesiones

Definici´n 1.1 Sean A, B dos conjuntos no vac´ Una funci´n de o ıos. o A hacia (o en) B, denotado f : A → B, es un conjunto f de pares ordenados en A × B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b′ ) son elementos de f entonces b = b′ . El conjunto de todos los elementos de A que aparecen como primer elemento en los pares ordenadode f se llama dominio de f y se denota D(f ). El conjunto de todos los elementos de B que aparecen como segundo elementos en los pares ordenados de f se llama rango de f y se denota R(f ). Una sucesi´n en un conjunto S no vac´ es una funci´n cuyo o ıo o dominio es el conjunto N y cuyo rango esta contenido en S. 4

1.1 Funciones y Sucesiones

Definici´n 1.2 Sea f una funci´n f : D(A) ⊂ A →R(f ) ⊂ B. o o 1. f se dice inyectiva (o uno a uno) si, siempre que (a, b) y (a′ , b) sean elementos de f entonces a = a′ . 2. f se dice sobreyectiva (o epiyectiva) si, R(f ) = B. a 3. f se dice biyectiva si es, simult´neamente, inyectiva y sobreyectiva.

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1.2 Conjuntos infinitos

1.2.

Conjuntos infinitos

Definici´n 1.3 Sea B un conjunto cualquiera. o 1. B se llama finito si es igual alconjunto vac´ o si existe una ıo funci´n biyectiva con dominio B y rango contenido en el o conjunto {1, 2, . . . , n}. Si no existe tal funci´n, decimos que el o conjunto es infinito. 2. B se llama enumerable si existe una biyecci´n de B sobre N. o 3. Si dice que B es un conjunto contable si es un conjunto finito o enumerable.

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2 Intervalos y Puntos de Acumulaci´n o

2.

Intervalos yPuntos de Acumulaci´n o

Sean a, b ∈ R tales que a ≤ b. Definimos los siguientes conjuntos Intervalo abierto (a, b) := {x ∈ R : a < wx < b}. Si a = b, entonces (a, b) = ∅. Intervalo cerrado [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. Si a = b, entonces [a, b] = {a}. An´logamente de definen los intervalos semiabiertos (o semicerrados) a [a, b), [a, b). La longitud de un intervalo I es la diferencia b − a ≥ 0. Enalgunos casos, consideramos los intervalos abiertos (resp., cerrados) infinitos (−∞, a), (a, ∞) (resp., (−∞, a], [a, ∞)). Note que (−∞, ∞) = R.

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2.1 Intervalos encajados (anidados)

2.1.

Intervalos encajados (anidados)

Definici´n 2.1 Decimos que una sucesi´n de intervalos In , n ∈ N es o o encajada o anidada si las siguientes inclusiones se cumplen I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ In+1⊇ · · · Por ejemplo In = (0, 1/n) o tambi´n In = (n, ∞). En ambos casos, se e tiene que ∩n∈N In = ∅. Teorema 2.1 (Propiedad de los intervalos encajados) Si In = [an , bn ], n ∈ N es una sucesi´n encajada de intervalos cerrados o acotados, entonces existe ξ ∈ R tal que ξ ∈ In para todo n ∈ N. M´s a a´n, si las longitudes bn − an de cada In son tales que u ´ ınf{bn − an : n ∈ N} = 0, entonces elelemento com´n es unico. u ´

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2.2 Puntos de acumulaci´n o

2.2.

Puntos de acumulaci´n o

Definici´n 2.2 Un punto x ∈ R se dice que es un punto de o acumulaci´n (o punto limite) de S ⊂ R si cada ǫ−vecindad de x o contiene al menos un punto de S diferente de x, es decir, si para todo ǫ > 0, se tiene que Vǫ (x) ∩ S = ∅. Calcular los puntos de acumulaci´n de S = (0, 1). o Teorema 2.2...