Analisis Vectorial

Análisis Vectorial

Objetivo:
Analizar el comportamiento de las funciones vectoriales
Contenido:
* Espacios vectoriales
* Subespacio
* Combinación Lineal
* Independencia Lineal
* Bases y Dimensiones
* Rango o Nulidad
* Cambio de Base
* Bases Ortonormales
* Espacio con producto interno
* Transformaciones Lineales
* Propiedades
* RepresentaciónMatricial
* Isomorfismos
* Engevectores
* Matrices semejantes, simétricas
* Valores propios, Diagonalización
* Campos vectoriales
* Integrales de Línea
* Teorema de Green
* Integrales de Superficies
* Teorema de divergencia de Gauss y Teorema de Stoke

Conceptos previos

* Vector:
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vectorposee unas características que son:

* Origen:
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

* Módulo:
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

* Dirección:
Viene dada por laorientación en el espacio de la recta que lo contiene.

* Sentido:
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

* Producto punto:
El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la ideageométrica de magnitud.

Definición 1
Consideremos los vectores v= v1, v2, …, vn y u= (u1,u2 , …, un), v, u ϵ Rn. El producto punto (o escalar) v∙u se define de la siguiente manera
v∙u= v1∙u1+ v2⋅u2+…+ vn⋅un

Expresión analítica del ángulo de dos vectores
cosα=u1∙v1+u2∙v2+…+un∙vnu12+u22+u32+…+un2∙v12+v22+v32+…+vn2

Expresión analítica del módulo de un vector uu=u∙u=u1∙u1+u2∙u2+u3∙u3+…+un∙un

= u12+u22+u32+…+un2


Vectores ortogonales:
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
u∙v=βu1∙v1+u2∙v2+u3∙v3+…+un∙vn=0

Propiedades del producto punto
* Propiedad Conmutativa; sea u, v dos vectores ϵ Rn, entonces
u∙v=v∙u

* Propiedad Asociativa; sea k, u, v tres vectores ϵ Rn, entonces
k∙u∙v=(k∙u)∙v

* PropiedadDistributiva; sea u, v, w tres vectores ϵ Rn, entonces
u∙v+w=u∙v+u∙w

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
u≠0→u∙u>0

Ejemplo:
Demostrar analíticamente que las cuatro (4) diagonales de un cubo tienen la misma longitud.

Solución:
Sea A(0,0,0) , B(a,a,a) , C(a,a,0) , H(0,0,a) , D(a,0,0) , G(0,a,a) , E(a,0,a) F(0,a,0)

│AB│=a-02+a-02a-02│HC│=a-02+a-02(0-a)2
│AB│=a2+a2+ a2 │HC│=a2+a2+ a2
│AB│=3a2 │HC│= 3a2
│AB│=3 a │HC│=3 a

│FE│=0-a2+a-02(0-a)2│GD│=0-a2+a-02(a-0)2
│FE│= a2+a2+ a2 │GD│=a2+a2+ a2
│FE│=3a2 │GD│=3a2
│FE│= 3 a │GD│=3 a

Con esto queda demostrado que las cuatro diagonales de uncubo tienen la misma longitud.

Gráfica de un cubo con sus cuatro diagonales iguales
Y
Z
X

Teorema: Si A y B son 2 vectores en V³ demuestre que A•(A x B) = 0


Demostración:
Sea A = ‹ a₁, a₂, a₃›; B = ‹b₁, b₂, b₃›

Entonces ‹ a₁, a₂, a₃›• (‹ a₁, a₂, a₃› x ‹b₁, b₂, b₃›)
‹ a₁, a₂, a₃›• ‹ a₂ b₃- a₃ b₂, - a₁ b₃+ a₃ b₁, a₁ b₂- a₂ b₁›

a₁...