Analisis Vectorial

ANÁLISIS VECTORIAL.
1. Coordenadas curvilíneas.
Consideremos la figura 1., en la que se ilustra el sistema de coordenadas cartesianas y un sistema de
coordenadas curvilíneas con origen en el punto: P.

Figura 1.
1.1. Vector de posición.
El vector de posición correspondiente al punto: P, está definido como:

r x. m x

y. m y

z. m z

Donde: x, y, z, son las coordenadas del punto: P , y losversores son, respectivamente,
mx,m y,m z
Recordemos que los versores son vectores unitarios en las direcciones: x, y, z.
En cuanto al sistema de coordenadas curvilíneas, hacemos las siguientes definiciones:
1.2. Líneas coordenadas:
Primera línea coordenada: u1
Segunda línea coordenada: u2
Tercera línea coordenada: u3

1

1.3. Superficies coordenadas:
Primera superficie coordenada: u1 C1
segundasuperficie coordenada: u2 C2
tercera superficie coordenada: u3 C3
Puesto que el estudiante está más familiarizado con las coordenadas cartesianas, las superficies
coordenadas en estos casos son planos coordenados.
El plano coordenado: x=constante, es un plano paralelo al plano: y-z.
De manera similar, en un sistema de coordenadas curvilíneas se habla de superficies coordenadas,
así:
La superficiecoordenada: u1=constante, es una superficie paralela a la superficie formada por las
líneas coordenadas: u2 y u3.
1.4. Fórmulas de transformación.
Las fórmulas de transformación son aquellas que permiten pasar del sistema de coordenadas
cartesianas a un sistema de coordenadas curvilíneas y viceversa.
Para la figura 1., las fórmulas de transformación son:
x x u1 , u2 , u3

u1 u1 ( x , y , z )

y y u1 , u2, u3

u2 u2 ( x , y , z )

z z u1 , u2 , u3

u3 u3 ( x , y , z )

1.5. Versores en coordenadas curvilíneas.
Con referencia a la figura 1., el diferencial del vector de posición está dado por:

dr

dr .
du
d u1 1

dr .
du
d u2 2

dr .
du
d u3 3

Geométricamente, los tres vectores de la derecha son vectores tangentes a las líneas
coordenadas: u1, u2, u3.
Si denotamos dichos vectores como: T1 , T2 ,T3 , podemos escribir: dr T1

T2

T3

Ahora definimos los versores en el sistema de coordenadas curvilíneas, así:
m1

T1
T1

m2

T2
T2

m3

T3
T3

2

Hacemos las siguientes definiciones:
T2 h2 . du2 . m 2

T1 h1 . du1 . m 1

T3 h3 . du3 . m 3

Así las cosas, podemos determinar los diferenciales de: longitud, área y volumen en coordenadas
curvilíneas, así:
1.6. Diferencial de longitud.
Supongamosun curva definida en cada punto de una región del espacio y cuya ecuación está dada
por:
r r1 u1 , u2 , u3 m 1

r2 u1 , u2 , u3 m 2

r3 u1 , u2 , u3 m 3

Las componentes del vector: r son: r1 u1 , u2 , u3 , r2 u1 , u2 , u3 , r3 u1 , u2 , u3

Figura 2.
Supongamos que t es un parámetro y que las componentes del vector de posición se dan en forma
paramétrica. Así:
r( t ) r1 ( t ) m 1

r2 ( t ) m 2r3 ( t ) m 3

3

A partir de la figura 2., el diferencial de longitud del arco de curva comprendido por los puntos: P y
Q, está dado por:
dl h1 . du1 . m 1

h2 . du2 . m 2

h3 . du3 . m 3

Las cantidades: h1, h2 y h3, son características del sistema de coordenadas curvilíneas.
dA3 T1
dA3

T2 h1 . h2 . du1 . du2 . m 3

dA3

h1 . h2 . du1 . du2

1.8. Diferencial de volumen.
El diferencial devolumen se calcula como la magnitud del triple producto escalar de los vectores:
T1, T2, T3, así:
dV

T1 . T2

T3

h1 . h2 . h3 . du1 . du2 . du3

Para calcular las integrales de área y de volumen se procede de manera similar a la manera de
calcular integrales de longitud, es decir, se expresan las funciones en términos de un parámetro: t y
se evalúan las integrales dobles o triples según el caso.
1.9.Gradiente de una función escalar. Operador nabla.
Para presentar la definición del operador nabla partimos del diferencial total de una función escalar,
así:
Y u1 , u2 , u3
Supongamos un función escalar en coordenadas curvilíneas:
El diferencial total de la función está dado por:
dY

dY .
du
d u1 1

dY .
du
d u2 2

dY .
du
d u3 3

Ahora bien, la expresión anterior se puede escribir de la...