analisis

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA
LOGICA MATEMATICA
METODOS DE DEMOSTRACIÓN.

DEMSOTRACION.

1. Argumentaciones y demostraciones

1.1 Argumentación.

Un argumento es un razonamiento que se hace con el propósito de conseguir la aceptación o el rechazo de una tesis propuesta.

En otras palabras, un argumento es una proposición (conclusión) que seobtiene de otros enunciados (tesis).

1.2 Demostración.

Una demostración es un razonamiento o una serie de razonamientos que buscan probar la validez de un nuevo conocimiento estableciendo relaciones necesarias con otros conocimientos.

La matemática se estructura en un conjunto de proposiciones cada una de las cuales se deduce de otras anteriores.

Ahora, puesto que para demostrar unaproposición hay que partir de otras proposiciones ya establecidas se ha de partir de proposiciones primitivas y conocimientos primitivos (axiomas o postulados)

1.3 Estructura de una demostración

La demostración consta de tres partes:

1. El conocimiento que se trata de demostrar.
2. Los fundamentos matemáticos, que constituyen la base de la demostración.
3. El procedimiento usadopara lograr la demostración (que el conocimiento quede demostrado). Esto permite establecer conexiones lógicas en los conocimientos básicos o fundamentales y sus secuencias sucesivas hasta llegar a la conclusión final.

1.4 aplicaciones.

a. Demostración directa.
Ejemplo 1:

El cuadrado de un entero impar es de la forma 8k + 1, donde k es un entero positivo.

Demostración
Justificación.Postulado
Definición de número impar
Propiedad de las igualdades
Productos notables
Propiedad asociativa
Propiedad modulativa de la multiplicación
Propiedad distributiva

Factor común

Haciendo k = (n²+n)/2

Luego: El cuadrado de un entero impar es de la forma 8k + 1

Ejemplo 2:
La suma de la medida de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º



Demostración:Justificación
1. Sea A, B, C ángulos exteriores al triángulo ABC Supuesto
2. Sean x, y, z ángulos interiores al triángulo ABC Supuesto
3.  m A + m z = 180º Ángulos suplementarios
 m C + m x = 180º
 m B + m y = 180º
4. m A + m z + m C + m x + m B + m y = 180º + 180º + 180º Propiedad de las igualdades
5. (m A + m B + m C) + (m z + m x + m y ) = 540º Propiedadesconmutativa y asociativa
4. (m A + m B + m C) + 180º = 540º Def. Ángulos internos
5. (m A + m B + m C) = 540º - 180º Propiedad de las igualdades
6. (m A + m B + m C) = 360º

Luego, la suma de las medidas de los ángulos externos de todo triángulo es 360º

b. Demostración indirecta o de reducción al absurdo.

Ejemplo 3:
Demostrarque si x2 es par, entonces x es par.

Hipótesis: x2 es par
Tesis : x es par

Demostración: Justificación
1. Supongamos x no es par Negación de la tesis
2. x es impar Ley de la doble negación
3. x = 2n - 1 Definición de número impar
4. x2 = (2n - 1)² Propiedad de las igualdades
5. x2 = 4n² - 4n + 1 Producto notable
6. x2 = 4n² - 4n + 1 + 0 Propiedad modulo matemático
7. x2= 4n² - 4n + 1 + (1 - 1) Propiedad anulativa
8. x2 = (4n² - 4n + 2) - 1 Propiedad Asociativa
9. x2 = 2(2n² - 2n + 1) - 1 Factorización
10. x2 = 2k - 1 Haciendo k = 2n² - 2n + 1
11. x2 es impar
Pero x es par
Luego: se llega a una contradicción puesto que se originó al suponer que x no es par y se concluye que x es par.

Ejemplo 4:

Demostrar que “si x  0 entonces x-1  0”Hipótesis: x  0
Tesis: x-1  0

Demostración Justificación
1. Sea x-1 = 0 Negación de la tesis
2. 1/x = 0 Propiedad de los exponentes negativos
1. (1/x) x = 0. x Propiedad de las igualdades.
3. 1 = 0.x...