analisis

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1

´
4. INTEGRACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
La integral de Riemann est´ motivada por el c´lculo de ´reas de regiones planas. Concretamente, se
a
a
a
trata de hallar el ´rea de la regi´n plana limitada por la gr´fica de una funci´n acotada positiva, sobre
a
o
a
o
un intervalodel eje de abscisas.
y
Si f : [a, b] −→ R es una funci´n acotada
o
f
y positiva, la integral de Riemann calcula
el ´rea del recinto:
a
R(f ; a, b)
R(f ; a, b) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
a
x
b
O

4.1.1. Particiones de un intervalo

Una partici´n del intervalo cerrado y acotado [a, b] es cualquier colecci´n finita de puntos del intervalo
o
o
que contenga a los extremos:P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) ,
que lo dividen en n subintervalos [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n,
y se llama di´metro de la partici´n a la longitud del
a
o
mayor de ellos:

a
x0 x1

n≥1

x2

x3 · · · xi−1 xi · · · xn−1

b
xn

δ(P ) = max {x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 } = max {xi − xi−1 }
1≤i≤n

Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo [a, b], se dice que Qes m´s fina que P si P ⊂ Q, es
a
decir, si Q contiene todos los puntos de P . Obviamente, si Q es m´s fina que P , entonces δ(Q) ≤ δ(P ).
a

4.1.2. Sumas de Riemann
Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de una funci´n acotada f : [a, b] −→ R
o
asociadas a la partici´n P = (a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b) como:
o
n

s(f, P ) = m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + . . . + mn (xn− xn−1 ) =

mi (xi − xi−1 )
i=1
n

S(f, P ) = M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + . . . + Mn (xn − xn−1 ) =

Mi (xi − xi−1 )
i=1

donde mi y Mi son, respectivamente, el ´
ınfimo y el supremo de f en el subintervalo [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n.
y

O

a
b
x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma inferior de Riemann es
la suma de las ´reas de los rect´ngulos quetienen
a
a
por base los subintervalos y altura el ´
ınfimo de la
funci´n en los mismos, que es menor o igual que
o
el ´rea limitada por la gr´fica y el eje x.
a
a

y

O

a
b
x0 x1 x2 . . . xi−1 xi . . . xn x

Si f es positiva, la suma superior de Riemann es
la suma de las ´reas de los rect´ngulos que tienen
a
a
por base los subintervalos y altura el supremo de la
funci´n en losmismos, que es mayor o igual que
o
el ´rea limitada por la gr´fica y el eje x.
a
a

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

2

Cuando en cada subintervalo, en lugar de tomar los valores ´
ınfimo o supremo, se toma el valor de la
funci´n en un punto intermedio αi ∈ [xi−1 , xi ], 1 ≤ i ≤ n, se obtiene la suma de Riemann asociada a
o
dichos puntos:
n

S(f, P, {αi }) = f (α1 )(x1 − x0 ) + f (α2 )(x2 − x1 ) + . . . + f (αn )(xn − xn−1 ) =

f (αi )(xi − xi−1 )
i=1

Es f´cil comprobar que se verifican las siguientes propiedades:
a
1. Cualquier suma de Riemann est´ comprendida entre las sumas superior e inferior asociadas a la
a
misma partici´n:
o
s(f, P ) ≤ S (f, P, {αi }) ≤ S(f, P )
2. Si Q es una partici´n m´s fina que P , entonces:
oa
s(f, P ) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P )
3. Cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, es decir, para cualesquiera
particiones P y Q:
s(f, P ) ≤ S(f, Q)

4.1.3. Integral de Riemann
Se dice que una funci´n acotada f : [a, b] −→ R es integrable Riemann (o, simplemente, integrable)
o
cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´
ınfimo de las sumassuperiores, y se representa
por:
b

f (x) dx = sup {s(f, P ) : P es partici´n de [a, b]} = inf {S(f, P ) : P es partici´n de [a, b]}
o
o
a

Puesto que las sumas de Riemann est´n comprendidas entre las sumas superiores e inferiores, cuando
a
una funci´n es integrable se puede definir tambi´n su integral como el siguiente l´
o
e
ımite de sumas:
n

b
a

f (x) dx = lim S (f, P,...