Analisis

Univ. de Alcal´ de Henares
a
C´lculo. Segundo parcial.
a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa
o
Curso 2004-2005

Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor.
1.

Derivadas parciales segundas

En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de la
gr´fica de una funci´n f , es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de ordensuperior
a
o
de f . Ese estudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series)
de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos
(m´ximos y m´
a
ınimos). En este cap´
ıtulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones de
varias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos.
Vamos aempezar por definir las derivadas de orden superior de estas funciones. Las definiciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo.
Ejemplo 1. Sea f : R2 → R dada por f (x, y ) = x6 + 5xy + 8y 4 Entonces f es derivable en todo
R2 . Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este:
∂f

= 6x5 + 5y
ff2
fffff ∂x
ff
∂
∂x

f (x, y ) = x6 + 5xy + 8y 4 ∂

XXXXX
∂y
XXXX+∂f

∂y

= 5x + 32y 3

Las dos derivadas parciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, que
podemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema:
∂
∂x

hh3
hhhh

∂

30x4 =

∂f
= 6x5 + 5y
∂
VVVV
∂x
∂y
VVVV
m6
+
mmm

∂xmmm
m
mmm
mm
mmm
m

∂
∂x

∂f
∂x

5=

∂
∂y

∂f
∂x

5=

∂
∂x∂f
∂y

f (x, y ) = x6 + 5xy + 8y 4

QQQ
QQQ
∂
QQQ ∂y
QQQ
QQQ
QQ(

∂
∂x

hhh4
hhhh

∂f
= 5x + 32y 3
∂
∂y
VVVVV
∂y
V*

96y 2 =

1

∂
∂y

∂f
∂y

Ejemplos como ´ste nos llevan a definir:
e
Definici´n 2 (Derivadas parciales segundas).
o

Si la funci´n f : R2 → R dada por z = f (x, y ) es derivable en todos los puntos de una bola
o
 B (¯, r) centrada en elpunto p = (x0 , y0 ), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadas
¯
p
 parciales


∂f
∂f

,

∂x
∂y


 ya que se pueden calcular en todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a su

 vez funciones derivables en el punto p, entonces las derivadas parciales de esas funciones son
¯

 las derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatrode estas derivadas segundas, que se

 representan con esta notaci´n:
o


2

∂2f
∂ ∂f

 ∂ f = ∂ ∂f ,

=

2
 ∂x

∂x ∂x
∂y∂x
∂y ∂x


 ∂2f


∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f


=
,
=
2
∂x∂y
∂x ∂y
∂y
∂y ∂y
Observaci´n. Estas definiciones, y la notaci´n, se extienden de forma evidente a funciones veco
o
toriales, es decir a f : Rn → Rm . Si tenemos y = f (¯), conx = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , ym ) y
¯
x
¯
¯
f = (f1 , . . . , fm ), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por
∂fi
, derivando parcialmente con respecto a una variable xk . La notaci´n habitual
o
ejemplo de
∂xj
es entonces:
∂ 2 fi
si es k = j
∂xk ∂xj
y
∂ 2 fi
si es k = j
∂x2
j
Otra notaci´n com´n (y a veces muy conveniente) es:o
u
∂ 2 fi
2
= Djk fi
∂xj ∂xk
Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan derivables podemos repetir la definici´n anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. En
o
general hablaremos de la derivada parcial r-´sima (o de orden r) de f con respecto a xj1 xj2 . . . xjr
e
para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y elorden en que lo hacemos. Las
notaciones m´s comunes son ´stas:
a
e
∂rf
r
= Dj1 ...jr f
∂xj1 . . . ∂xjr
Funciones C k y C ∞ . Una funci´n f : Rn → Rm cuyas derivadas parciales (primeras) existen
o
y son continuas en todos los puntos de un abierto U se dice que f es de clase C 1 en U , o que
f ∈ C 1 (U ) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las...