Analisis

Análisis Matemático


1.5) Determine el radio y el intervalo de convergencia para las siguientes series de potencia:

Por criterio de la raíz
limn⟶∞nn3xn = limn→∞n3nxnn =limn→∞(n1n)3x1
1nTiende a 0… n1n = 1 y 13=1

∴x = 1 -1<x <1

Evaluamos en los extremos para saber si pertenecen al dominio…

Para -1
n=0∞n3(-1)n=+∞ para n par -∞ para n impar ∴diverge

Para 1n=0∞n31n= n=0∞n3

Apliquemos el límite al término n- enésimo (que dice que diverge si el limite el ≠0

limn→∞n3= ∞ ∴diverge

Dominio -1, 1 Radio es 1

2.2) Encuentre la serie depotencias que representa a la función f(x) e indique para que valores de x su desarrollo es valido si:
f(x)= cos(x)

a) Ocupando la forma general de la series de Maclaurin obtenemos lo siguiente:

→cos(x) = f(0) + f‘(0)x + f‘‘ 0x22¡ + f‘‘‘ 0x33¡ + ………….+ fn0xnn¡………

Luego derivamos y evaluamos la función obtenida en 0 y obtenemos lo siguiente:

f( 0 ) = cos( 0 ) = 1
f‘( 0 ) =-sen( 0 ) = 0
f‘‘( 0 ) = -cos( 0 ) = -1
f‘‘‘( 0 ) = sen( 0 ) = 0
f‘‘‘‘ ( 0 )= cos( 0 ) = 1
. .
. .
. .
..
. .

Luego reemplazamos lo obtenido en nuestra forma anterior de la serie de Maclaurin.

cos(x) = f(0) + f‘(0)x + f‘‘ 0x22¡ + f‘‘‘ 0x33¡ + ………….+ fn0xnn¡………

→cos(x)= 1 + 0x - x22¡ + 0x33¡ + x44¡ + 0x55¡ - x66¡ + ………+ fn0xnn¡………

→ cos(x)= 1 - x22¡ + x44¡ - x66¡ + ………….+ (-1)nx2n(2n)¡……

Por lo tanto la serie de potencias que representa a la funciónf(x) es :

n=0∞ (-1)nx2n(2n)¡

a) Luego utilizando el criterio del cuociente obtenemos lo siguiente:

limn→∞(-1)n+1x2(n+1)(2n+1)¡*2n¡(-1)nx2n=

= limn→∞-1n-1x2n x22n¡2n+1(2n+2)*2n¡(-1)nx2n=

= limn→∞-1 x2 2n+1(2n+2) = 0

Por lo tanto x ∈ R

3.2) Use el resultado anterior para encontrar la serie de potencia que corresponde a la función arctan(x).
Como, por el ejercicio...