Analisis

Números complejos iguales:
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente nsoluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que [pic]. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variablecompleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Representación grafica de los números complejos:Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:
1Por el punto (a,b), que se llama su afijo,
[pic]z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
[pic]

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
[pic]Números complejos conjugados:
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como [pic]ó [pic]) es un nuevo número complejo, definido así:
[pic]
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
[pic]

Números Complejos Opuestos:
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.
[pic]

Adición de númeroscomplejos:
La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los sumandos.
[pic]
Como la adición es ley de composición interna en elconjunto R de los números reales, a+c y b+d son números reales.
Por consiguiente, la operación así definida es una aplicación CxC en C ypor tanto una ley de composición interna en C.
La suma de dos complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene:
[pic]
Propiedades de la adición en C
Puesto que la suma de complejos equivale a dos sumas de números reales, sus propiedades son las mismas que en R:
I. Asociativa: [pic]

 
 
Sea x=(a,b), y = (c,d), z = (e,f), secumple:
(x+y) +z = [(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)]
=x+(y+z)
II. Conmutativa: x+y=y+x
Sea x=(a,b), y = (c,d) por la conmutatividad en R tenemos:
x+y=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)=y+x
 
III. Elemento neutro. El elemento neutro es (0,0), pues:

 
[pic]
Al complejo (0,0)...