Analisis

sTema 5. Análisis Transitorio de Circuitos de Primer y Segundo Orden
5.1 Introducción 5.2 Circuitos RC sin fuentes 5.3 Circuitos RC con fuentes 5.4 Circuitos RL 5.5 Circuitos RLC sin fuentes 5.6 Circuitos RLC con fuentes

VS
VS + −

R
iR (t )

v(t ) iC (t )

C

v(0) = V0
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Bibliografía Básica para este Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de circuitoseléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006. [2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006.

Sadiku Dorf

Temas 7 y 8 Tema 8 y 9

- Esta presentación se encuentra, temporalmente, en: http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
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5.1 Introducción - En este tema se consideran circuitos que contienen diversas combinaciones de dos o treselementos pasivos (R, L, C) - En la primera parte del tema se examinan dos tipos de circuitos simples: 1) el circuito con una resistencia y un condensador (circuito RC) 2) el circuito con una resistencia y una bobina (circuito RL) - Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff. - El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecs. algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC yRL producen ecs. diferenciales. - Las ecs. diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer Orden - Estudiaremos tanto circuitos con fuentes independientes como circuitos sin fuentes independientes. - Cuando no hay fuentes independientes, las tensiones y corrientes en el circuito se deben a las condiciones iniciales enel condensador o en la bobina (a la energía inicialmente almacenada en ellos).
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5.1 Introducción - En la segunda parte del tema se estudiarán circuitos que tienen dos elementos de almacenamiento. - A estos circuitos se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen mediante ecs. diferenciales que contienen derivadas segundas - En concreto, estudiaremos la respuesta decircuitos RLC, tanto con fuente independiente como sin ella.

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5.2 Circuitos RC sin fuentes - Descarga de un condensador a través de una resistencia: - Consideramos un condensador C inicialmente cargado v (0) = V0 - Conectamos el condensador a una resistencia R a través de un interruptor como se muestra en la figura (circuito RC sin fuentes)

R

C

v(0) = V0
t =0
- En el instanteinicial t = 0 se cierra el interruptor y el condensador comienza a descargarse
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5.2 Circuitos RC sin fuentes - Para estudiar el proceso de descarga resolveremos la KCL en el nudo

iR (t ) + iC (t ) = 0
- Según la relación i-v de cada elemento:

iR (t )

+
v(t ) −

iC (t )
C

R

iR =

v R

iC = C

- Sustituyendo en la KCL:

dv dt

v(0) = V0

v dv +C =0 dt R
- Integrando:⇒ ⇒

dv 1 =− dt v RC 1 t + ln A RC
1 ⎜ ⎟ ⇒ v = A exp⎛ − RC t ⎞ ⎝ ⎠
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dv 1 ∫ v = − RC ∫ dt
siendo ln A = cte

ln v = −

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5.2 Circuitos RC sin fuentes - Aplicando las condiciones iniciales

v(0) = V0
resulta

iR (t )

+
v(t ) −

iC (t )
C

⎛ 1 ⎞ V0 = A exp⎜ − 0⎟ = A ⎝ RC ⎠
- Luego, la solución buscada es:

R

v(0) = V0

⎛ 1 ⎞ v(t ) = V0 exp⎜ − t⎟ ⎝ RC ⎠
-Esta solución indica que la tensión del circuito RC cae exponencialmente desde el valor inicial hasta cero
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5.2 Circuitos RC sin fuentes - La solución anterior suele escribirse como

v(t ) = V0 e − t /τ con τ = RC
siendo τ una constante con unidades de tiempo denominada tiempo de relajación o constante de tiempo del circuito “ La constante de tiempo de un circuito RC es el tiempo necesariopara que la tensión disminuya en un factor 1/e (un 63.21% de su valor inicial) “ t = τ ⇒ v(τ ) = V /e ≈ 0.3679V
0 0

63.2%

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5.2 Circuitos RC sin fuentes - El tiempo τ da una idea de la rapidez de descarga del circuito.

- Cuanto más pequeño es τ más rápida es la descarga - Después de un tiempo t = 5τ la tensión ha llegado al 99% de su valor final el tiempo efectivo de un...