Analiss Matematico I

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEMA: TEOREMA DE ROLLE Y VALOR MEDIO Ing. Claudio Cerrón Landeo

Teorema de Rolle:
Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado[a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f '(c) = 0

En la figura se ilustra lainterpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema: f es: continua en [a, b] e integrable en (a, b), y f (a) = f (b) = 0. También sepuede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela al eje x, es decir donde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de unamodificación en su enunciado que no altera para
nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y nonecesariamente sean iguales a cero. En la figura se ilustra este hecho:

Teorema del Valor medio:
Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f esdiferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:

En la figura se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema delValor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto C en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por Ay B. Esto es,

EJERCICIOS
I.-Verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valoradecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.


II.- Compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego...