analista

Segundo Parcial de Introducción a la Investigación de Operaciones
Fecha: 30 de junio de 2011
•
•
•
•
•
•
•
•

∀x

INDICACIONES
Duración del parcial: 4 hrs.
Escribir las hojas de un solo lado.
No se permite el uso de material ni calculadora.
Numerar las hojas.
Poner nombre y número de cédula en el ángulo superior derecho de cada hoja.
Escribir en la primera hoja el total dehojas entregadas.
Las partes no legibles del examen se considerarán no escritas.
Justifique todos sus razonamientos.
N

∑

xn =

n=0

Pregunta

1 − x N +1
,
1− x

∞

∑

x 0 y u > 0 que se asumen conocidos,
•

Tasas de Muerte

{u n }n≥1 , satisfacen, un =  α

Se pide:
A) Modelar el PNM anterior como una CMTC, explicitando: el espacio de estados, los tiempos de permanenciaen cada estado, y las probabilidades de transición.
B) Determinar la condición de estabilidad del sistema.

α

0

α

1
µ

α

2
µ

α

…

3
µ

k-1

µ

k
µ

a)
Espacio de estados E = (0,1,2, 3,…)
TP0 = exp(α) -> E(TP0 ) = 1/α
TPi = exp(α + µ) -> E(TPi ) = 1/(α+µ ) ∀ i 1 ≤ i ≤ k-1
TPk = exp(α/2 + µ) -> E(TPk ) = 2/(α+2µ )
TPj = exp(α/2 + µ/α) -> E(TPi ) =2α/(α2+2µ ) ∀ j j ≥ k +1
P0,1 = 1
Pi,i+1 = α/(α + µ) ∀ i 1 ≤ i ≤ k-1
Pi,i-1 = µ/(α + µ) ∀ i 1 ≤ i ≤ k-1
Pk,k+1 = α/(α + 2µ)
Pk,k-1 = 2µ/(α + 2µ)
Pj,j+1 = α2/(α2+2µ ) ∀ j j ≥ k +1
Pj,j-1 = µα/(α2+2µ ) ∀ j j ≥ k +1

α/2

α

α/2

k+1

µ/α

k+2

µ/α

…

b) Utilizamos las condiciones de equilibrio:

α P0 = µ P1 ⇒ P1 =

α
P
µ 0
2

α
α P1 = µ P2 ⇒ P2 = 
µ



 P0

α
α P2 = µ P3 ⇒ P3 = 
µ

.
.
.


 P0



α Pk − 1

3

α
= µ Pk ⇒ Pk = 
µ


k


 P0



α

µ
α2
Pk =
Pk + 1 ⇒ Pk + 1 =
α
2
2µ

α

µ


α

α2
µ
=
Pk + 2 ⇒ Pk + 2 = 
 2µ
α


2

Pk + 1

k


 P0







2

α

µ


k


 P0



.
.
.
n

+∞
α2 
α 
∑ Pn = 1 ⇒ P0 + ∑  µ  P0 +n∑+1  2µ 
 


n =0
n =1 
=k 


+∞

k

n

n−k

h

k

 α   α  +∞  α 2 
 =
P0 + P0 ∑   +   P0 ∑ 
  µ


n =1  µ 
  h =1  2 µ 
k

h
n
k

 α   α   +∞  α 2 
 
 − 1 =
P0 + P0 ∑   +   P0 ∑ 
  µ 


n =1  µ 
   h = 0  2µ 

k

n
k +∞
2 h

k


 1 +  α  +  α    α  − 1 
P0
∑ µ   µ   ∑  2µ   

 n =1     h = 0 
     




⇒ P0 =

1
n

α  α 
1 + ∑  +  
  µ
n =1  µ 
 
k

k

 + ∞  α 2 h 
 
 − 1
 ∑  2µ 


 h =0 


k

α 
  P0 =
µ
 

α2 

En la ecuación anterior, todas las sumatorias, excepto ∑ 


h =0  2 µ 
+∞

h

son convergentes sin que sea necesarianinguna

h

α2 
α2
 también sea convergente se debe cumplir
condición. Para que la ∑ 
< 1 . Por lo tanto la condición de


2µ
h =0  2µ 
+∞

estabilidad es

Pregunta

α2
< 1.
2µ
8 Puntos (2, 2, 2, 2)

3

Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas.
1) Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov no son válidas en CMTDFH que sean periódicas.
2) Siuna CMTDFH no es irreductible, entonces tiene más de una distribución estacionaria.
3) En un sistema de filas de espera M/M/1 con arribos poissoneanos de parámetro α y tiempo de servicio
exponencial de parámetro u , asumiendo estabilidad, el número medio de clientes en el sistema viene dado
por
4)

n=

α

u −α

.

En un sistema de filas de espera M/M/1 con arribos poissonianos deparámetro

α

t
1
exponencial de parámetro u , asumiendo estabilidad, se cumple que: s = .
tf α
Nota: Para cada item indicar solamente si es Verdadero o Falso. No se pide justificación.
Respuestas incorrectas restan 2 puntos. Items no contestados suman 0.

1)
2)
3)
4)

Falso
Falso
Verdadero
Falso

y tiempo de servicio

Pregunta

10 Puntos (4, 4, 2)

4

E =...