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MÉTODOS DE INTERVALOS
 
Los métodos de los intervalos utilizán una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.

Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.
 

 
En la gráfica 2.1 se observa como la funcióncambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la raíz (punto c), pero es necesario entonce establecer unintervalo (como el [a,b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].
Los métodos de Intervalos que se verán en la cátedra son:
a. Método Gráfico
b. Método de Bisección
c. Método de Interpolación Lineal

MÉTODO GRAFICO.
 
Un método simplepara obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para la cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
 
 

 
 
 La aproximación gráfica para determinar las raíces de una ecuación.       
Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar aproximacionesiníciales de la raíz, son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones, previendo las fallas de los métodos numéricos
 
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. Laposición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.
Algoritmo
Paso 1
Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0
Paso 2
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:
Paso 3
Realizar lassiguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a.    Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
b.    Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Paso 4
Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia
DondeXpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.
Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.
Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:
Error relativo =(error/Xpm)*100
 
  MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN.
 
 El método de la falsa posiciónpretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la ecuación (35) del método dela secante). La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. En la figura (9) se representa geométricamente este método. 
 
 

 
 
 
 
 
La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una...