Angulos entre paralelas

Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

1.1 Angulos entre paralelas. Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen. Si una línea corta a un par de paralelas (l y m) entonces forma ángulos con éstas, los cuales mantienen la siguiente relación: ∠1 = ∠2 y se llaman ángulos opuestos por el vértice ∠1 = ∠3 y sellaman ángulos alternos internos ∠1 = ∠4 y se llaman ángulos correspondientes

l

4 5 3

1
m

2

Figura 1

además, también tenemos que ∠4 + ∠5 = 180° y se dice que ∠4 y ∠5 son suplementarios. Aprovechando todo ésto podemos probar el siguiente: Teorema .- La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
A l

2

1

3

2
B

3
C

Figura 2

Demostración: Sea l unalínea paralela a BC, la demostración es evidente al observar la figura 2, ya que ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría Problemas 1.- Encontrar cuánto vale el ángulo exterior θ en la siguiente figura si son conocidos los ángulos α y β:
A

α

β
B

θ
C

Figura 3 2.- Encontrar cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono de n lados.

-2- Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

1.2 Angulos en circunferencias Existen distintos tipos de ángulos en las circunferencias, los cuales podemos calcular en función de los arcos que intersecten. La manera en que se calculan depende de si el vértice del ángulo se encuentra dentro, sobre ó fuera de la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos: Un ángulo central esel que tiene su vértice en el centro de un círculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes.
A O

α
B

α = arc(AB)
Figura 4

Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y su valor es igual a la mitad del arco que intersecta:
A

β =

arc ( AB ) 2

β
B

Figura 5

Un ángulo semiinscrito es el que tiene su vértice sobre lacircunferencia y está formado por una línea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta: A
θ

θ =

arc ( AB ) 2
B

Figura 6

Ejemplo.- Demuestre que el valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que intersecta el mismo arco. Solución: Probemos ésto para el caso cuando uno de los lados del ángulo coincide con un diámetro:

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Capítulo1. Conceptos Básicos de Geometría

A
α

C

α

O

β

B

Figura 7

En la figura anterior sea CB un diámetro, sean ∠ACB = α (ángulo inscrito) y ∠AOB = β (ángulo central), queremos probar que α = β/2. Para ésto observemos que tanto OA como OC son radios de la circunferencia, por lo que el triángulo ∆AOC es isósceles, por lo tanto ∠ACO = ∠CAO = α. Y utilizando el resultado del ejercicio1 de la sección 1.1, tenemos que ∠AOB = ∠ACO + ∠CAO = α + α = β, por lo tanto β=2α, lo cual queríamos demostrar. Ahora faltaría demostrar lo anterior para las siguientes figuras, lo cual el lector puede probar fácilmente utilizando el caso que hemos probado.
A
C
α

A

C

α

O β B
Figura 8

O β B

Teorema 1.- La magnitud del ángulo entre dos líneas que se cortan dentro de uncírculo es igual a la semisuma de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir D
A

arc( AB) + arc(CD ) α= 2
C

P

B

Figura 9

Demostración: Se traza el segmento CB, formándose así el triángulo PCB. Ahora como ∠DPC = ∠PCB + ∠PBC, entonces:

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Capítulo 1. Conceptos Básicos de Geometría

∠DPC =

arc( AB) arc(CD ) + 2 2

Teorema 2.- La magnitud del ángulo entre dos líneas que secortan fuera de un círculo es igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas líneas. Es decir A
D

α=

arc( AB) − arc(CD ) 2

P

C

B

Figura 10

Demostración: Se traza el segmento DB, formándose así el triángulo PDB. Ahora como ∠BDA = ∠DPB + ∠DBP, despejando ∠DPB = ∠BDA - ∠DBP entonces arc( AB) arc(CD ) ∠DPB = − 2 2
Problemas 1.- Demostrar que dos líneas paralelas...
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