Anillos de valoracion dominios de dedekind y curvas integras

Anillos de valoraci´n, dominios de Dedekind y
o
curvas ´
ıntegras
Samuel Merino
May 18, 2013

1

La teor´ del orden de las funciones holomorfas en C ha sido una herrramienta
ıa
muy util. Con la intenci´n de generalizar ´sto a otros anillos de funciones
´
o
e
surgieron las valoraciones, que han probado ser de capital importancia en campos como la teor´ de n´meros, o el an´lisis decurvas algebraicas.
ıa
u
a

1

Valoraciones y anillos de valoraci´n
o

Sea Σ un cuerpo, ϑ un subanillo ´
ıntegro del cuerpo. Se dice que ϑ es de valoraci´n
o
1
o
si dado f ∈ Σ, se cumple que o bien f ∈ ϑ o f ∈ ϑ. Si un anillo es de valoraci´n
tenemos autom´ticamente que ϑ0 = Σ pues de lo contrario existir´ un f de
a
ıa
modo que ni ´l ni su inverso estar´ en Σ, contra hip´tesis.e
ıan
o
Si Γ es un grupo abeliano totalmente ordenado con una relaci´n de orden
o
que respete la suma, (si a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c), se dice que un morfismo
epiyectivo(tomando el cuerpo con el producto) v de Σ a Γ es una valoraci´n si
o
verifica:
v(f + g) ≥ inf {v(f ), v(g)}
Existe una correspondencia biun´
ıvoca entre anillos de valoraci´n y un cociente
o
del conjunto de lasvaloraciones sobre un mismo cuerpo, con lo que son conceptos
´
ıntimamente relacionados aunque a priori no lo parezca.
Los anillos de valoraci´n tienen varias propiedades que los hacen muy utiles
o
´
para el c´lculo de cierres enteros de anillos. Los anillos de valoraci´n son locales
a
o
(est´ probado en clase por lo que omitir´ la demostraci´n), son ´
a
e
o
ıntegramente
cerrados y la inclusi´nes una relaci´n de orden total entre sus ideales, esto es,
o
o
si I, J son ideales de un anillo de valoraci´n ϑ sobre un cuerpo Σ, entonces o
o
bien I ⊂ J o J ⊂ I. Probemos las dos ultimas.
´
´
Integramente cerrados Sea f ∈ Σ entero sobre ϑ pero que no est´ contenido
e
1
o
en ϑ. Entonces f ∈ ϑ. Entonces existe un polinomio m´nico p con coeficientes
n−1

1
en el anillo, de grado nde modo que p(f ) = 0. Multiplicando por f
, tenemos
que :
1 n−1
f = − (coeficientes de p de grado menor que n)
∈ϑ
f

Y por tanto ϑ es ´
ıntegramente cerrado.
Completamente ordenado. Sean I, J ideales de ϑ. Razonando por reducci´n al absurdo, si ninguno estuviese contenido en el otro existir´ x ∈ I −J,
o
ıan
y
a
y ∈ J − I . No obstante, o x o x est´n en ϑ, supongamos que el primero.Eny
tonces y = x x, lo cual es una contradicci´n y por tanto uno de los ideales est´
o
a
y
´
contenido en el otro. Esto nos lleva a un corolario interesante. Si ϑ es anillo
de valoraci´n y noetheriano, entonces es dominio de ideales principales. En
o
efecto, sea I ideal de ϑ, entonces por noetherianidad I = (f1 , ..., fn ), y como
la inclusi´n es total entre ideales, uno de estos fiverifica que (fi ) ⊂ (fj ) para
o
todos los j, con lo que I = (fi ) y ϑ es principal.Tambien se deduce que si ϑ es
de valoraci´n y noetheriano entonces es de dimensi´n 1.
o
o
2

2

C´lculo del cierre entero de un anillo con vala
oraciones

Una vez introducidos los anillos de valoraci´n y las valoraciones, vamos a
o
usarlas para calcular el cierre entero de un anillo. Para ello, primerocaracterizaremos los anillos de valoraci´n sobre un cuerpo, y despu´s utilizaremos esa
o
e
caracterizaci´n para calcular el cierre entero.
o

2.1

Caracterizaci´n de los anillos de valoraci´n
o
o

Para conseguir ´sto vamos a definir primero una relaci´n de orden en el cone
o
junto
ϕΣ = {ϑ ⊂ Σ subanillo local con ϑ0 = Σ}
Decimos que ϑ domina a ϑ si ϑ ⊂ ϑ y µ ∩ ϑ = µ siendo µ y µ losrespectivos
maximales. Esto induce una relaci´n de orden del siguiente modo. ϑ ≤ ϑ si ϑ
o
domina a ϑ. Es trivial ver que esto es en efecto una relaci´n de orden.
o
Lo que probaremos ahora es que los maximales con respecto a esta
ordenaci´n son precisamente los anillos de valoraci´n sobre Σ.
o
o
Para ´sto vamos a introducir una noci´n de dominaci´n entre los morfismos
e
o
o
que van de...