Anillos Normales y Regulares

Anillos normales y
Anillos regulares
Álgebra homológica

2011-2012

Gloria García Soler
Rosa Rodríguez Regueros
Javier Vega Bayo

Anillos normales y Anillos regulares

Índice:
-Dependencia entera
-Dominio normal
-Dominio completamente normal.
Anillo normal
-Orden de un elemento respecto a un ideal
-Anillos regulares
-Anillos locales regulares de dimensión 1
-Bibliografía

1Anillos normales y Anillos regulares

Dependencia entera:
Definición 1: Sea anillo, subanillo de , un elemento
se dice
entero sobre si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en ,
es decir, si satisface una ecuación de la forma:
, donde las
.
Observación:
-Todo elemento de es entero sobre .
es entero sobre
es -módulo finitamente generado.
Definición 2: El conjunto de loselementos de enteros sobre es un
subanillo de que contiene a y se llama clausura íntegra de en .
-Si
-Si

se dice que
se dice que

es íntegramente cerrado en
es entero sobre

Dominio normal:
Definición 3: Sea un dominio de integridad (D.I. , es decir, anillo sin
divisores de 0 distintos de 0). Se dice que es un dominio normal si es
íntegramente cerrado en , su cuerpo cociente.Ejemplos:
- es dominio normal.
.
Sea

luego
luego

.

y
y

siempre

y

es dominio normal.

-Análogamente se muestra que todo DFU (dominio de factorización única)
es dominio normal. En particular, un anillo de polinomios sobre un cuerpo
es dominio normal.

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Anillos normales y Anillos regulares
Lema 1: Sean
anillos, entero sobre . Si es un subconjunto
multiplicativamentecerrado de entonces
es entero sobre
.
Lema 2: Sean
cerrado de ,
íntegra de

anillos, si es un subconjunto multiplicativamente
clausura íntegra de en , entonces
es la clausura
en
.

Proposición 1: Sea dominio normal. Si es un subconjunto
multiplicativamente cerrado de entonces
es dominio normal.
Demostración: Sea dominio normal, su cuerpo cociente (o cuerpo de
frecciones).
clausuraíntegra de en .
Al ser dominio normal;
Por el Lema 2,
es la clausura íntegra de
en
, es decir,
es la clausura íntegra de
en
, es decir,
es íntegramente cerrado en
, por lo que es dominio normal.
Corolario 1: Sea dominio de integridad, las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
a) es dominio normal
b)
es dominio normal
c)
es dominio normal
Demostración:
a)
b)

Si

esdominio normal, por la proposición 1, para
,
es dominio normal
.
por hipótesis
es dominio

normal
c)
Ya que

.

Dominio completamente normal.
Anillo normal.
Definición 4: Sea un D.I., su cuerpo cociente, un elemento
, se
dice casi entero sobre si existe un elemento
tal que

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Anillos normales y Anillos regulares
Observación: Si
son casi enteros sobre
casi enteros sobre .Proposición 2: Sea un D.I., sea
es casi entero sobre
Demostración:

Sea

si

entonces

es entero sobre

y

son

entonces

entero sobre

veamos que
Si
Si

con

Veamos que

Desarrollando y sustituyendo las potencias de mayores que por la
expresión obtenemos potencias de menores que y obtenemos que
.
Así
, es decir, es casi entero sobre .
Observación: El recíproco escierto si es noetheriano. Es decir, si
noetheriano y
es casi entero sobre
es entero sobre
Demostración: Sea
y
es un submódulo del -módulo finito
sobre
es entero sobre

es

.
por tanto

es finito

Definición 5: Sea D.I. Decimos que es un dominio completamente
normal si todo elemento de , que es casi entero sobre es elemento
de .
Observación:
- En un dominio noetheriano normal ycompletamente normal coinciden.
- Los anillos de valoración de rango (= dimensión de Krull) mayor que uno,
son normales pero no completamente normales.

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Anillos normales y Anillos regulares
Definición 6: Sea

anillo. es anillo normal si

es dominio

Observación: Un anillo noetheriano normal es producto directo de un
número finito de dominios normales
primos normales de .
y...