Antecedentes Para Curvatura Y Torsión

Antecedentes para curvatura y torsión
Longitud de arco
Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase), en  y dado su vector de posición  expresado mediante el parámetro t;

Sedefine el llamado parámetro de arco s como:

La cual se puede expresar también de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguientemanera:

Donde

Son las relaciones entre las dos parametrizaciones.
Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret

Vista esquemática del vector tangente, vector normal y vector binormal deuna curva hélice.
Dada una curva parametrizada r (t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

 O bien 
 O bien 
 O bien 

Estos tres vectores sonunitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante quepara una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidado aceleración normal.
Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

Donde los parámetros χ y τanteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsión.

Curvatura y torsión



La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste amedida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:


Si la curva está parametrizada por elparámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:


Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.
La torsión es una...