Antenas

Analizar la antena de dipolo hertziano en el eje z
Vector potencial magnético
A ̂=μ_0/4πr e^(-jβ_0 r) ∫_(-l/2)^□(l/2)▒I ̂ dy'j ̂
A ̂=μ_0/4πr e^(-jβ_0 r) I ̂dlj ̂
Sabiendo que:
j ̂=sen θ sen⁡φ r ̂+cos⁡θ sen φ θ ̂+cos⁡φ φ ̂

Entonces obtenemos la siguiente expresión:

A ⃗=(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πr sen θ sen⁡φ r ̂+(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πr cos⁡θ sen φ θ ̂+(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πrcos⁡φ φ ̂
(Ar) ⃗=(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πr sen θ sen⁡φ (A_θ ) ⃗=(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πr cos⁡θ sen φ
(A_φ ) ⃗=(μ_0 I ̂dle^(-jβ_0 r))/4πr cos⁡φ φ ̂
El vector Intensidad de campo magnético esta dado por:
H ⃗=1/μ_o ∇xA ⃗
H_r=1/(μ_o rsenθ) [∂/∂θ (A_φ sen θ)-∂/∂φ A_θ ]
H_r=1/(μ_o rsenθ) [((μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr cos⁡φ cos θ)-((μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr cos⁡φ cos θ) ]H_r=0
H_θ=1/(μ_o r) [(1/(sen θ)*∂/∂φ A_r )-(∂/∂r rA_φ ) ]
H_θ=1/(μ_o r) [(1/(sen θ)*(μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr sen θcosφ)+jβ_o ((μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr cos⁡φ ) ]
H_θ=(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr 〖*cos〗⁡φ (1/r+jβ_o )=(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(4πr^2 )*cos⁡φ (1+jβ_o r)
H_φ=1/(μ_o r) [∂/∂r rA_θ-∂/∂θ A_r ]
H_φ=1/(μ_o r) [-jβ_o ((μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4π cos⁡θ sen⁡φ )-((μ_o e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πrcos⁡θ sen⁡φ ) ]
H_φ=-(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr cos⁡θ sen⁡φ (1/r+jβ_o )=-(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(4πr^2 ) cos⁡θ sen⁡φ (1+jβ_o r)

Con la ayuda de la primera ecuación de Maxwell el campo eléctrico esta dado por:
E ⃗=1/〖jwε〗_o ∇xH ⃗
E_r=0
E_θ=1/(〖jwε〗_o r) [1/(sen θ)*∂/∂φ H_r-∂/∂r rH_φ ]
E_θ=1/(〖jwε〗_o r) [∂/∂r r((e^(-jβ_o r)*I ⃗*dl)/(4πr^2 ) cos⁡θ )(sen⁡φ (1+jβ_o r) ) ]
E_θ=1/(〖jwε〗_o r)[-((〖jβ_o e〗^(-jβ_o r) I ⃗dl4πr+4πe^(-jβ_o r) I ⃗*dl)/(4πr)^2 )(1+jβ_o r)+(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/4πr jβ_o ] cos⁡θ*sen⁡φ
E_θ=(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(〖jwε〗_o 4πr) [〖β_o〗^2-j β_o/r-1/r^2 ] cos⁡θ*sen⁡φ
E_φ=1/(〖jwε〗_o r) [∂/∂r rH_θ-∂/∂θ H_r ]
E_φ=1/(〖jwε〗_o r) [∂/∂r r((e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(4πr^2 ) cos⁡φ (1+jβ_o r) ) ]
E_φ=1/(〖jwε〗_o r) [-((〖jβ_o e〗^(-jβ_o r) I ⃗dl4πr+4πe^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(4πr)^2 )(1+jβ_or)+((e^(-jβ_o r) I ⃗*dl)/4πr)jβ_o ] cos⁡φ
E_φ=(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(〖jwε〗_o 4πr) [(-jβ_o r-1+〖β_o〗^2 r^2-jβ_o r+jβ_o r)/r] cos⁡φ
E_φ=(e^(-jβ_o r) I ⃗dl)/(〖jwε〗_o 4πr) [〖β_o〗^2-j β_o/r-1/r^2 ] cos⁡φ

Considerando exclusivamente las contribuciones en zonas apartadas ( 1/r^2 y1/r^3 ), las expresiones de los campos E y H quedan:
(H_FF ) ⃗=j[((e^(-jβ_o r) I ⃗dlβ_o)/4πr) cos⁡φ ] (a_θ )⃗-j[((e^(-jβ_o r) I ⃗dlβ_o)/4πr) cos⁡θ sen⁡φ ] (a_φ ) ⃗
Sabiendo que:
Z_o=√(μ_o/ε_o ) β_o=w√(μ_o*ε_o )
Entonces:
(E_FF ) ⃗= -j[((e^(-jβ_o r) I ⃗dlβ_o Z_o)/4πr) cos⁡θ sen⁡φ ] (a_θ ) ⃗-j[((e^(-jβ_o r) I ⃗dlβ_o Z_o)/4πr) cos⁡φ ] (a_φ ) ⃗

El vector densidad media de potencia estará dado por:
S_AV=1/2 Re(E ⃗ x H ⃗^* )= (Z_o |H ⃗ |^2)/2 r ⃗= |E ⃗ |^2/(2Z_o ) r ⃗

S_AV=Z_o/2[((I ⃗^2 〖dl〗^2 〖β_o〗^2)/(16π^2 r^2 ) cos^2⁡φ ) + ((I ⃗^2 〖dl〗^2 〖β_o〗^2)/(16π^2 r^2 ) 〖cos〗^2 θ 〖sen〗^2⁡φ ) ] r ⃗

S_AV=(Z_o I ⃗^2 a^4 〖β_o〗^2)/(32r^2 ) [cos^2⁡φ + 〖cos〗^2 θ*〖sen〗^2⁡φ ] r ⃗

Analizar la antena de dipolo magnético en el plano y-z

A ⃗=μ_o/4π ∫_v▒(j ⃗e^(-jβ_0 R))/R dv^'
A ⃗=μ_o/4π ∮▒(I ⃗e^(-jβ_0 R))/R dl ⃗
e^(-jβ_0 R)=e^(-jβ_0 R) e^(-jβ_0 r) e^(jβ_0 r)
e^(-jβ_0R)=e^(-jβ_0 (R-r) ) e^(-jβ_0 r)
e^(-jβ_0 R)=e^(-jβ_0 r) (cos⁡〖β_o (R-r)〗-j senβ_o (R-r) )
A ⃗=μ_o/4π e^(-jβ_0 r) [(1-β_o r) ∮▒〖I ⃗/R dl-j〗 β_o ∮▒I ⃗ dl]
Sabiendo que:
R^2=S^2+Z^2=a^2+〖r_1〗^2-2a〖r_1〗^2 cosφ^'+Z^2
R^2=a^3+〖r_1〗^2-2a〖r_1〗^2 cosφ^'+Z^2
R^2=a^2+r^2-2a〖r_1〗^2 cosφ^'
Donde 1/R será:
1/R=1/√(a^2+r^2-2a〖r_1〗^2 cosφ^' )
1/R=r^(-1) (1+a^2/r^2 -(2ar_1 cosφ')/r^2 )^□((-1)/2)

Si sabemosque r>>a y r2>>r1 entonces:

1/R=r^(-1) (1-(2ar_1 cosφ')/r^2 )^□((-1)/2)
A ⃗=μ_o/4π 〖∫_(φ=0)^π▒cosφ/r (1+(2ar_1)/r^2 cosφ)dφj ⃗〗^
A ⃗=(μ_o Ia^2 r_1)/(4π r^2 ) θ ⃗

Si r_1=r sinθ
A ⃗=(μ_o Ia^2 sinφ)/(4 r^2 ) θ ⃗
Así el vector potencial magnético queda:

A ⃗=(μ_o Ia^2 sinφ)/(4 r^2 ) (1+jβ_o r) e^(-jβ_0 r) θ ⃗

De donde el vector H será:



=-1/(μ r sen(θ) ) ((∂((μ )/4π (I π...