Antomia

CURSO MATEMATICA BASICA
Capitulo II
Teoría de Conjuntos
1. Conjuntos y Elementos:
La palabra conjunto tiene en Matemática, casi el mismo significado que en el lenguaje de uso diario. Cuando hablamos de una colección o agrupación de objetos, de un grupo de pacientes de un hospital o de un regimiento de soldados, nos referimos a conjuntos.
El concepto de conjunto aparece en todas lasramas de las matemáticas. De manera intuitiva, un conjunto es cualquier lista bien definida o cualquier colección de objetos que tienen propiedades comunes y será representado por letras mayúsculas A, B, C, X, Y, …….. Los objetos que componen el conjunto se llaman sus elementos o miembros y se denotan por las letras minúsculas a, b, c, x, y,…….
La relación de pertenencia se indica por la letragriega épsilon ε.
El enunciado “p es un elemento de A” o, en forma equivalente “p pertenece a A” se escribe p ε A. La negación de p ε A se escribe p έ A.
Determinación de un Conjunto.
Existen dos maneras de especificar o determinar un conjunto dado: por extensión y por comprensión.
Por extensión: Para especificar un conjunto dado es posible, al enumerar sus elementos.Por ejemplo,
A = (a, e, i, o, u)
Denota el conjunto A cuyos elementos son las letras a, e, i, o, u. Notemos que los elementos van separados por comas y encerrados entre paréntesis ( ) o corchetes [ ].
B = (1, 3, 5, 7, 9) queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente todos sus elementos.
Por comprensión: La segunda manera esenunciar aquellas propiedades que caracterizan los elementos del conjunto. Por ejemplo
B = [x: x es un número entero, x > 0].
Que se lee “B es el conjunto de los x, tales x son enteros y mayores que cero” describe el conjunto B cuyos elementos son los enteros positivos. Una letra generalmente x, se emplea para denotar un elemento representativo del conjunto;los dos puntos se leen “tal que” y la coma como “y”.
Ejemplo 1.1 El conjunto B, de los enteros positivos, se puede escribir B = [1, 2, 3….]
Observemos que -6 έ B, 3 ε B y ¼ έ B.
Ejemplo 1.2 El conjunto A dado anteriormente también se puede escribir como
A = [x: x es una letra del alfabeto, x es una vocal]
Observemosque b έ A, e ε A y p έ A.
Ejemplo 1.3 Sea E = [x: x2 – 3x + 2 = 0]. En otras palabras, E consta de aquellos números que son soluciones de la ecuación x2 - 3x +2 = 0, denominado algunas veces el conjunto solución de la ecuación dada. Ya que las soluciones de la ecuación son los números 1 y 2, podemos también escribir E = [1, 2]
Ejemplo 1.4 Sea el conjunto G = (x: x3 -2x2 –x+2 = 0) es el conjunto solución de la ecuación x3 -2x2 –x +2 = 0. Como las soluciones de la ecuación son -1, 1, 2 podemos también escribir G = (-1, 1, 2)
x3- 2x2 –x +2 / x-1 = x2 – x - 2
x2 - x - 2 / x-2 = x +1 Luego: x3 -2x2 –x +2 = (x+1) (x-2) (x-1) = 0
Las soluciones son: x=-1,1, 2
Ejemplo 1.5 Dado el conjunto A = [a, (b, c), d] que afirmaciones son incorrectas y porque.
i) (b,c) ε A
ii) [ (c) ] ε A
iii) c ε A
iv) ( a, c, d ) ε A
v) (a, b, c, d ) ε A
vi) d ε A
Los elementos de A son a, d y el conjunto (b, c). Por tanto i) es correcta
ii) Es incorrecta porque el conjunto que consta de un solo elemento que no pertenece a A. iii) es un elemento que no pertenece a A iv) es un conjunto que no pertenece a A v) es un conjunto que nopertenece a A. vi) es correcta.
Dos conjuntos A y B son iguales, escrito A = B, si constan de los mismos elementos, esto es, si cada elemento de A pertenece a B y cada elemento de B pertenece a A. La negación de A = B se escribe A ≠ B
Ejemplo 1.6 Sea E = [x: x2 – 3x + 2 = 0] F = [2, 1] y G = [1, 2, 2, 1, 6/3].
Entonces E = F = G. Observemos que un conjunto no...