Anulador

Ecuaciones lineales de orden n con coecientes constantes
Una ecuación lineal de orden n con coecientes constantes es una ecuación de la forma:

an

dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+
a
+ . . . + a1
+ a0 y(t) = f (t)
n−1
n
n−1
dt
dt
dt

en la que la función incógnita y y sus derivadas aparecen en una combinación lineal (de ahí que
digamos que la ecuación es lineal) con coecientes ak ∈ IR (y por tantoconstantes). Como la
ecuación es de orden n tenemos necesariamente que an = 0.
Es habitual emplear notación de operadores para escribir este tipo de ecuaciones de la forma:

L[y](t) = f (t)
donde L es el operador (entendido aquí como una función sobre funciones) que, dada una función

y nos devuelve otra función L[y] cuyo valor en un punto t viene dado por
L[y](t) = an

dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+ a0y(t)
+
a
+ . . . + a1
n−1
n
n−1
dt
dt
dt

Llamaremos Ecuación homogénea asociada a la ecuación anterior a la que resulta de
tomar f (t) = 0, es decir,

L[y](t) = 0
Llamaremos polinomio característico de una ecuación homogénea al polinomio de grado n
dk y(t)
q(λ) que resulta de sustituir en ella cada derivada
por el término λk
dtk
Dada la ecuación

an

dn y(t)
dn−1 y(t)
dy(t)
+ an−1
+ . . . + a1
+a0 y(t) = 0
n
dt
dtn−1
dt

su polinoimio característico es

q(λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0
En la denición anterior se entiende que y(t) es la derivada de orden 0 de y en el punto t, por lo
que a0 y(t) se convierte en el término independiente a0 del polinomio.
Es fácil comprobar que el polinomio característico de una ecuación puede obtenerse introduciendo eλt en el operador L:

L[eλt] = q(λ)eλt

1

Solución
Aunque la justicación teórica deberá esperar unos cuántos temas es fácil calcular, en determinadas circunstancias, la solución general de una ecuación de este tipo.
La solución general de una ecuación lineal es la suma de la solución general del

problema homogéneo asociado y una solución particular cualquiera.
• Es muy importante advertir que una solución del problemahomogéneo no es nunca solución
del problema completo no homogéneo (es decir, con f (t) = 0).

Solución general del problema homogéneo
La propiedad fundamental de las soluciones de un sistema o ecuación de este tipo es que
Las soluciones de una ecuación lineal de orden n homogénea constituyen un espacio

vectorial de dimensión n
Si conseguimos encontrar, por tanto, una base del espacio desoluciones, es decir, n soluciones
linealmente independientes {x1 , . . . , xn }, podremos escribir cualquier solución como una de sus
combinaciones lineales. La solución general dependerá entonces de n constantes arbitrarias c1 , . . . cn
y la podremos expresar como

yH (t) = c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t)

Cálculo de la base
Para calcular la base del espacio de soluciones basta conocer las n raíces delpolinomio característico.

• A cada raiz real rk de multiplicidad mk del polinomio característico le corresponden
las mk soluciones:

{erk t , terk t , . . . , tmk −1 erk t }
• A cada par de raices complejas rk = ak ± ibk de multiplicidad mk (por ser el polinomio
característico de coecientes reales si un complejo es raiz también lo es su complejo
conjugado) le cortresponden las 2mk soluciones:

{eak t sen(bk t), teak t sen(bk t), . . . , tmk −1 eak t sen(bk t),
eak t cos(b t), teak t cos(b t), . . . , tmk −1 eak t cos(b t)}
k

k

2

k

Ejemplo: Calcular la solución general de las ecuaciones a)y + y = 0;
a) El polinomio característico es q(λ) =

λ2 + 1

b)y − 2y + y = 0;

que tiene por raíces ±i con multiplicidad 1, luego

una base del espacio de soluciones es {sen(t), cos(t)} y lasolución general es

y(t) = Asen(t) + Bcos(t)
b)El polinomio característico es q(λ) = λ2 − 2λ + 1 cuyas raíces son 1 doble, luego la solución
general es

y(t) = Aet + Btet

Solución Particular. Método del Anulador
Para calcular una solución particular en el caso general deberemos esperar hasta conocer el
método de variación de las constantes para sistemas lineales. Sin embargo, existen ciertos casos
en...