Análisis de fourier en el análisis de señales en redes de computadoras

ANALISIS DE FOURIER EN EL ANALISIS DE SEÑALES EN REDES DE COMPUTADORAS.
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

Por lo tanto:

En 1807, Fourier establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que cualquier señalperiódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente.
Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier.
Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma desenoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).

REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑALPERIÓDICA.
Una señal es periódica si para algún valor positivo T, diferente de cero, se verifica que:
X (t) = x (t + T) para toda t.
Para que una señal periódica pueda representarse por una serie de Fourier, debe respetar las condiciones de Dirichlet:
• Tener un número finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser discontinua.
• El valor medio en el periodo T, seafinito.
• Tener un número finito de máximos positivos y negativos.
ANÁLISIS ARMÓNICO.
El análisis armónico o análisis de Fourier es la rama de las matemáticas que estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas", de "base", de las que podemos decir que la función o la señal "se compone". Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier ytransformadas de Fourier. Las ondas base se dicen "armónicos", y de ahí el nombre de la disciplina.
A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.
La transformada clásica de Fourier en Rn aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformaciónde Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soportecompacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.
Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el funcional. Una de las ramas más modernas del análisisarmónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. La idea central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos.
El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier y pretende extender talescaracterísticas a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos. Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada...