Análisis

Interpolaci´n
o

Pedagog´ en Matem´ticas
ıa
a


22 de mayo de 2012

Interpolaci´n
o
El problema matem´tico de la interpolaci´n es el siguiente:
a
o

Interpolaci´n
o
El problema matem´tico de la interpolaci´n es el siguiente:
a
o
Dado un conjunto de n pares de valores (xk , yk ), encontrar una
funci´n que cumpla:
o
f (xk ) = yk para k = 1, ..., n.

Interpolaci´n
o
Elproblema matem´tico de la interpolaci´n es el siguiente:
a
o
Dado un conjunto de n pares de valores (xk , yk ), encontrar una
funci´n que cumpla:
o
f (xk ) = yk para k = 1, ..., n.
Existen diversos m´todos para encontrar dicha funci´n. Los m´s
e
o
a
conocidos son los m´todos que interpolan f (x ) mediante un
e
polinomio o una funci´n racional (cociente de dos polinomios).
oInterpolaci´n
o
El problema matem´tico de la interpolaci´n es el siguiente:
a
o
Dado un conjunto de n pares de valores (xk , yk ), encontrar una
funci´n que cumpla:
o
f (xk ) = yk para k = 1, ..., n.
Existen diversos m´todos para encontrar dicha funci´n. Los m´s
e
o
a
conocidos son los m´todos que interpolan f (x ) mediante un
e
polinomio o una funci´n racional (cociente de dospolinomios).En
o
los ultimos a˜os, los m´todos que utilizan funciones definidas a
´
n
e
tramos (splines) han cobrado gran popularidad, justificada por su
capacidad de reproducir formas complicadas y altamente variables.
De hecho existe una activa investigaci´n en splines.
o

Vamos a estudiar en primer lugar la interpolaci´n polin´mica. En
o
o
este caso, dados n puntos, el grado m´s bajo delpolinomio que
a
pasa por los n puntos es (n − 1) (salvo que dos o m´s puntos
a
pertenezcan a un polinomio de grado m´s bajo).
a

Vamos a estudiar en primer lugar la interpolaci´n polin´mica. En
o
o
este caso, dados n puntos, el grado m´s bajo del polinomio que
a
pasa por los n puntos es (n − 1) (salvo que dos o m´s puntos
a
pertenezcan a un polinomio de grado m´s bajo).El Teorema
aFundamental del Algebra garantiza que este polinomio de grado
(n − 1) es unico, salvo combinaciones lineales.
´

Vamos a estudiar en primer lugar la interpolaci´n polin´mica. En
o
o
este caso, dados n puntos, el grado m´s bajo del polinomio que
a
pasa por los n puntos es (n − 1) (salvo que dos o m´s puntos
a
pertenezcan a un polinomio de grado m´s bajo).El Teorema
a
Fundamental delAlgebra garantiza que este polinomio de grado
(n − 1) es unico, salvo combinaciones lineales.
´
Existen diversos m´todos de determinar el polinomio interpolador,
e
que dan el mismo resultado. Unos m´todos son m´s conveniente
e
a
que otros, dependiendo del n´mero de puntos en los que se desee
u
conocer el polinomio interpolador.

M´todo de Interpolaci´n de Lagrange
e
o
Este m´todoconsiste en construir el polinomio interpolador de
e
grado n que pasa por (n + 1) puntos (xi , yi ) de la forma:
n

Pn ( x ) =

Li (x )yi .
i =0

M´todo de Interpolaci´n de Lagrange
e
o
Este m´todo consiste en construir el polinomio interpolador de
e
grado n que pasa por (n + 1) puntos (xi , yi ) de la forma:
n

Pn ( x ) =

Li (x )yi .
i =0

En donde las funciones Li (x )cumplen con que Li (xk ) = 0 si i = k
y Li (xi ) = 1.

M´todo de Interpolaci´n de Lagrange
e
o
Este m´todo consiste en construir el polinomio interpolador de
e
grado n que pasa por (n + 1) puntos (xi , yi ) de la forma:
n

Pn ( x ) =

Li (x )yi .
i =0

En donde las funciones Li (x ) cumplen con que Li (xk ) = 0 si i = k
y Li (xi ) = 1.
Esta propiedad garantiza que
Pn (xk ) = ykLas funciones Li son definidas como:
Li (x ) =

(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xi −1 )(x − xi +1 ) · · · (x − xn )
.
(xi − x1 )(xi − x2 ) · · · (xi − xi −1 )(xi − xi +1 ) · · · (xi − xn )

De su forma expl´
ıcita, vemos que Li (xi ) = 1, y Li (xk ) = 0 si i = k

Podemos escribir el polinomio interpolador de una funci´n f (x ) en
o
los puntos x0 , x1 , ..., xn de manera mas formal:...