Apendice Matematico

ndice Apéndice Matemático
Muchos de los conceptos económicos que se presentan en este curso tienen una base matemática; en este apéndice se presenta un repaso a un nivel muy básico de algunos de los conceptos que utilizamos. 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Dados dos conjuntos, X e Y, una función definida de X en Y es una regla que asigna a cada elemento del conjunto X un único elemento del conjunto Y.Por ejemplo, X puede ser el conjunto de jugadores un equipo de fútbol e Y el número que llevan en la camiseta. Hay una función que asigna a cada jugador un único número de su camiseta. Abusando de la notación, los economistas solemos denotar un elemento de un conjunto y el conjunto del mismo modo. Es decir, que X e Y denotan también valores de los respectivos conjuntos. Si Y es el valor de lafunción en X, escribimos Y = f (X) para expresar una función definida del conjunto X en el Y. La variable X es la variable independiente, y la variable Y la dependiente. Por ejemplo, una persona que pedalea en bici estática para perder peso, puede estar interesada en cuántas calorías quema. Si X es el número de minutos que pedalea e Y el número de calorías que quema por minuto, la función que lasrelaciona es Y= 6,5 X, que indica que quema 6,5 calorías por cada minuto que pedalea.1 Si la función f se define de X en Y, los valores permitidos de X son el dominio de la función y los valores que toma Y la imagen de la función.

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Dada una función Y = f (X), podemos representarla gráficamente en los ejes de coordenadas. La variable independiente X se representaen el eje horizontal o eje de abscisas, y la variable dependiente Y en el eje vertical o eje de ordenadas.2 El gráfico de la función es el conjunto de pares (X, f(X)). Puesto que en la mayoría de los casos las variables económicas son positivas o cero, sólo consideramos el primer cuadrante de los ejes de coordenadas. Volviendo al ejemplo de las calorías que se queman por minuto que se pedalea, elGráfico 1 representa la función Y = 6,5X. Si X=1, Y= 6,5, y si X= 2,

1

Aproximadamente, para una persona de 60 kilos, si pedalea con una dureza baja.

En economía a veces se utiliza la convención contraria. Por ejemplo, el precio es la variable independiente en una función de demanda, pero se representa en el eje de ordenadas. 1

2

Y=13. Los pares de puntos (1, 6,5) y (2, 13) estánrepresentados en el Gráfico 1.3 La abscisa en el origen es el punto en el que la variable Y toma el valor 0; es decir, es el punto en el que la recta corta al eje de abscisas. En el ejemplo, la abscisa en el origen es (0, 0). Del mismo modo, la ordenada en el origen es el punto en que la variable X toma el valor 0; es decir, el punto en el que la recta corta al eje de ordenadas. En el ejemplo, laordenada en el origen es también (0, 0): se trata de una recta que sale del origen de los ejes de coordenadas, el punto (0, 0)

2.1 Un tipo de función: Una función lineal. Representación de una recta y pendiente entre dos puntos La función Y = 6,5X representada en el Gráfico 1, es un ejemplo de una función lineal, cuya representación es una recta. Es una recta porque por cada minuto que aumentael tiempo que pedalea una persona, el número de calorías que quema aumenta siempre en la misma cantidad, 6,5 calorías. Además, es una recta creciente, lo que indica que el número de minutos que pedalea y el número de calorías que quema una persona están relacionados positiva o directamente: si aumenta el número de minutos que pedalea, aumenta, el número de calorías que quema. El que sea una rectay una recta creciente, tiene mucho que ver con el concepto de pendiente, que introducimos a continuación.

Al hacer un gráfico, es muy importante que nombre los ejes y mantenga la escala dentro de cada eje. 2

3

2.2 Pendiente entre dos puntos La pendiente de una función Y= f(X) entre dos puntos, es el cociente entre la variación de la variable del eje de ordenadas, ΔY , y la variación...