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Páginas: 15 (3532 palabras)
Publicado: 20 de abril de 2012
Programaci´n Matem´tica. o a Formulaci´n de problemas de programaci´n lineal. o o
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1. PROBLEMA DE PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCION. Se procesan tres productos a trav´s de tres operaciones diferentes. Los tiempos (en minutos) ree queridos por unidad de cada producto en cada operaci´n, la capacidad diaria de las o operaciones (en minutos por d´ y el beneficio por unidad vendida de cada productoıa) (en miles de pesetas) son como sigue: Operaci´n o 1 2 3 Ganancias/unidad (miles de pesetas) Tiempo por unidad (minutos) P1 P2 P3 1 2 1 8 0 2 1 4 0 3 2 5 Capacidad de operaci´n (minutos/dıa) o 430 460 420
Si todas las unidades producidas se venden, determinar la producci´n diaria ´ptima o o para cada producto que maximice el beneficio. Soluci´n.- Encontrar x1 , x2 y x3 tal que o maximice z =3x1 + 2x2 + 5x3 sujeta a x1 + 2x2 + x3 8x1 + 2x3 x1 + 4x2 x1 , x2 , x3
≤ ≤ ≤ ≥
430 460 420 0
La soluci´n ´ptima es x1 = 0, x2 = 100 y x3 = 230. Esto nos reporta un beneficio de o o 11 350,000. 2. PROBLEMA DEL PRODUCTO MIXTO. Una compa˜´ se dedica a la producnıa ci´n de dos tipos de fertilizantes: H-fosfato y L-fosfato. Para su fabricaci´n se utilizan o o tres clases diferentes de materiasprimas: C1 , C2 y C3 . Se conoce, por unidad, lo que cada uno de los fertilizantes necesita de materia prima-: C1 C2 C3 Beneficios netos/t. H-fosfato 2 1 1 15 L-fosfato 1 1 0 10 t. disponibles/mes 1500 1200 500
¿Cu´ntas toneladas se deben producir de cada tipo de fertilizante para que el beneficio a neto total sea m´ximo? a
Programaci´n Matem´tica. o a Soluci´n.-Encontrar x1 y x2 tal que omaximice z = sujeta a 15x1 + 10x2 ≤ ≤ ≤ ≥ 1500 1200 500 0
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0,5x1 + 0,5x2 0,25x1 + 0,5x2 0,25x1 x1 , x2 La soluci´n ´ptima es x1 = 2000, x2 = 1000 y z = 40000. o o
´ 3. PROBLEMA DE MEZCLA OPTIMA. Una refiner´ obtiene tres tipos de fuel: ıa F1 , F2 y F3; mezclando adecuadamente tipos diferentes de gasolina cruda: C1, C2, C3 y C4, que produce. Vende al exterior los tipos de fuel as´ como lagasolina cruda que no utiliza para la ı producci´n de los fueles. Se conoce: o Gasolina cruda C1 C2 C3 C4 Fuel F1 F2 F3 Calidad (octanos/barril) 68 86 91 99 Producci´n o Coste (barriles/d´ ıa) (u.m./barril) 4000 1.02 5050 1.15 7100 1.35 4300 2.75 Demanda (no barriles) 10000/d´ a lo sumo ıa Vende todo lo que produce 15000/d´ al menos ıa
Calidad m´ ınima (octanos/barril) 95 90 85
Precio de venta(u.m./barril) 5.15 3.95 2.99
La gasolina cruda la puede vender a 2.95 u.m. el barril si el n´mero de octanos es u mayor o igual que 90 y a 1.85 si es menor de 90. ¿Cu´ntos barriles cada d´ se deben a ıa fabricar de F1, F2 y F3 para que se maximice el beneficio total por ventas? Plantear como un problema de programaci´n lineal. o Soluci´n.- Encontrar xij ≡ n´mero de barriles de crudo Ci (i = 1, .. . , 4) empleados o u para la fabricaci´n del fuel tipo j e yi ≡ n´mero de barriles de crudo Ci que se venden o u directamente; i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3, tal que maximice z = 5,15(x11 + x21 + x31 + x41 ) + 3,95(x12 + x22 + x32 + x42 ) + 2,99(x13 + x23 + x33 +x43 )+1,85(y1 +y2 )+2,95(y3 +y4 )−4000∗1,02−5050∗1,15−7100∗1,35−4300∗2,75 sujeta a x11 + x12 + x13 + y1 = 4000 x21 + x22 + x23 +y2 = 5050 x31 + x32 + x33 + y3 = 7100 x41 + x42 + x43 + y4 = 4300
Programaci´n Matem´tica. o a
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68x11 + 86x21 + 91x31 + 99x41 ≥ 95 x11 + x21 + x31 + x41 68x12 + 86x22 + 91x32 + 99x42 ≥ 90 x12 + x22 + x32 + x42 68x13 + 86x23 + 91x33 + 99x43 ≥ 85 x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 10000 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 15000 xij ≥ 0 e yi ≥ 0; para i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3.La soluci´n ´ptima es fabricar 4958 barriles de F1, 0 de F2 y 15000 de F3. Cono o cretamente al resolver el problema por el m´todo simplex se obtiene x11 = 683,87, e x41 = 4274,19, x13 = 2824,19, x23 = 5050, x33 = 7100, x43 = 25,8, y1 = 491,93 y z = 39996,61. 4. PROBLEMA DE LA DIETA. Existen tres vitaminas distintas: X, Y y Z, y tres tipos diferentes de alimentos: leche, carne y huevos. A...
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1. PROBLEMA DE PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCION. Se procesan tres productos a trav´s de tres operaciones diferentes. Los tiempos (en minutos) ree queridos por unidad de cada producto en cada operaci´n, la capacidad diaria de las o operaciones (en minutos por d´ y el beneficio por unidad vendida de cada productoıa) (en miles de pesetas) son como sigue: Operaci´n o 1 2 3 Ganancias/unidad (miles de pesetas) Tiempo por unidad (minutos) P1 P2 P3 1 2 1 8 0 2 1 4 0 3 2 5 Capacidad de operaci´n (minutos/dıa) o 430 460 420
Si todas las unidades producidas se venden, determinar la producci´n diaria ´ptima o o para cada producto que maximice el beneficio. Soluci´n.- Encontrar x1 , x2 y x3 tal que o maximice z =3x1 + 2x2 + 5x3 sujeta a x1 + 2x2 + x3 8x1 + 2x3 x1 + 4x2 x1 , x2 , x3
≤ ≤ ≤ ≥
430 460 420 0
La soluci´n ´ptima es x1 = 0, x2 = 100 y x3 = 230. Esto nos reporta un beneficio de o o 11 350,000. 2. PROBLEMA DEL PRODUCTO MIXTO. Una compa˜´ se dedica a la producnıa ci´n de dos tipos de fertilizantes: H-fosfato y L-fosfato. Para su fabricaci´n se utilizan o o tres clases diferentes de materiasprimas: C1 , C2 y C3 . Se conoce, por unidad, lo que cada uno de los fertilizantes necesita de materia prima-: C1 C2 C3 Beneficios netos/t. H-fosfato 2 1 1 15 L-fosfato 1 1 0 10 t. disponibles/mes 1500 1200 500
¿Cu´ntas toneladas se deben producir de cada tipo de fertilizante para que el beneficio a neto total sea m´ximo? a
Programaci´n Matem´tica. o a Soluci´n.-Encontrar x1 y x2 tal que omaximice z = sujeta a 15x1 + 10x2 ≤ ≤ ≤ ≥ 1500 1200 500 0
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0,5x1 + 0,5x2 0,25x1 + 0,5x2 0,25x1 x1 , x2 La soluci´n ´ptima es x1 = 2000, x2 = 1000 y z = 40000. o o
´ 3. PROBLEMA DE MEZCLA OPTIMA. Una refiner´ obtiene tres tipos de fuel: ıa F1 , F2 y F3; mezclando adecuadamente tipos diferentes de gasolina cruda: C1, C2, C3 y C4, que produce. Vende al exterior los tipos de fuel as´ como lagasolina cruda que no utiliza para la ı producci´n de los fueles. Se conoce: o Gasolina cruda C1 C2 C3 C4 Fuel F1 F2 F3 Calidad (octanos/barril) 68 86 91 99 Producci´n o Coste (barriles/d´ ıa) (u.m./barril) 4000 1.02 5050 1.15 7100 1.35 4300 2.75 Demanda (no barriles) 10000/d´ a lo sumo ıa Vende todo lo que produce 15000/d´ al menos ıa
Calidad m´ ınima (octanos/barril) 95 90 85
Precio de venta(u.m./barril) 5.15 3.95 2.99
La gasolina cruda la puede vender a 2.95 u.m. el barril si el n´mero de octanos es u mayor o igual que 90 y a 1.85 si es menor de 90. ¿Cu´ntos barriles cada d´ se deben a ıa fabricar de F1, F2 y F3 para que se maximice el beneficio total por ventas? Plantear como un problema de programaci´n lineal. o Soluci´n.- Encontrar xij ≡ n´mero de barriles de crudo Ci (i = 1, .. . , 4) empleados o u para la fabricaci´n del fuel tipo j e yi ≡ n´mero de barriles de crudo Ci que se venden o u directamente; i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3, tal que maximice z = 5,15(x11 + x21 + x31 + x41 ) + 3,95(x12 + x22 + x32 + x42 ) + 2,99(x13 + x23 + x33 +x43 )+1,85(y1 +y2 )+2,95(y3 +y4 )−4000∗1,02−5050∗1,15−7100∗1,35−4300∗2,75 sujeta a x11 + x12 + x13 + y1 = 4000 x21 + x22 + x23 +y2 = 5050 x31 + x32 + x33 + y3 = 7100 x41 + x42 + x43 + y4 = 4300
Programaci´n Matem´tica. o a
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68x11 + 86x21 + 91x31 + 99x41 ≥ 95 x11 + x21 + x31 + x41 68x12 + 86x22 + 91x32 + 99x42 ≥ 90 x12 + x22 + x32 + x42 68x13 + 86x23 + 91x33 + 99x43 ≥ 85 x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 10000 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 15000 xij ≥ 0 e yi ≥ 0; para i = 1, . . . , 4 y j = 1, . . . , 3.La soluci´n ´ptima es fabricar 4958 barriles de F1, 0 de F2 y 15000 de F3. Cono o cretamente al resolver el problema por el m´todo simplex se obtiene x11 = 683,87, e x41 = 4274,19, x13 = 2824,19, x23 = 5050, x33 = 7100, x43 = 25,8, y1 = 491,93 y z = 39996,61. 4. PROBLEMA DE LA DIETA. Existen tres vitaminas distintas: X, Y y Z, y tres tipos diferentes de alimentos: leche, carne y huevos. A...
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