APLICACIÓN DE LAS ECUACUIONES DIFERENCIALES A CIRCUITOS ELECTRICOS Y ALA FISICA

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER GRADO
En mecánica se tiene como base fundamental las leyes de newton, de manera análoga, en electricidad se cuenta con las leyes de kirchhoff que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos. En particular estamos interesados en aplicar la segunda ley de kirchhoff, que enunciaremos masadelante.
Para el estudio de los circuitos LR RC en serie haremos uso de las siguientes tablas

cantidad
símbolo
unidad
Voltaje,fem o potencia
E
Volt(V)
resistencia
R
Ohm( Ω)
inductancia
L
Henry(H)
capacitancia
C
Farad(F)
corriente
i
Amper(A)
Carga eléctrica
qCoulomb(C)


elemento
Caída de potencial
resistencia
E=Ri
inductor

condensador







El siguiente es un enunciado de la segunda ley de kirchhoff.
Segunda ley de kirchhoff. La suma algebraica de todas las caídas de potencia en cualquier camino cerrado de un circuito eléctrico es igual acero.
Convención. Lacorriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (-).






Circuito LR en serie
Consideremos el circuito eléctrico que se muestra a continuación

Aplicando la segunda ley de kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de potencia a través del inductor Ldi/dt y de laresistencia Ri, es igual a la fuerza electromotriz (fem) E (t) aplicada al circuito es decir:

Como se observa la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la corriente eléctrica a través del circuito es una ecuación diferencial lineal y puede resolverse con el método descrito anteriormente
Ejemplo 1.- un generador con una fem de 50 v se conecta a serie con una resistencia de 6Ω yun inductor de 2 Henry. Si el interruptor K se cierra a t=0, determine la corriente para todo t.
Solución: la ecuación diferencial del circuito es





Resolviendo la ecuación diferencial de primer orden


Con la condición inicial i (0)=0
Por lo tanto:


Ejemplo2.- determine i(t) para el circuito eléctricodel problema anterior si el generador de 50v se reemplaza por otro con una fem de E(t)=10 sen7t
Solución ahora la ecuación diferencial se reduce a



De la condición inicial se sigue que así que




Ejemplo3.-Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en el cual la inductancia es y la resistencia 10 ohmios. Determinar la corriente si laintensidad inicial es 0
V=12v
L=
R=10 ohmios
I=?
t=0












Circuito RC en serie
Procediendo en forma similar a nuestra discusión anterior, aplicamos la segunda ley de kirchhoff y los resultados de la tabla 2 al circuito RC en serie. Obtenemos

Pero la corriente i y la carga q están relacionados por , por la cual la ecuación se transforma en la ecuación diferenciallineal



Ejemplo1.- una batería cuya fem esta dada por E(t)= se conecta en serie con una resistencia de 20Ω y un condensador de 0.01 F. suponiendo que q(0) =0 encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcule su valor y halle el valor de t para el cual se alcanza
Solución la ecuacióndiferencial para la carga es :


Sujeta a la condición inicial q (0)=0 , como i (t)=
Para que la carga alcance un máximo valor la i(t)=0; por lo tanto
1-5t=0
La q max= q =0.74 coulombs

Ejemplo 2.-una Resistencia de RΩ varia con el tiempo t( en segundos) de acuerdo a R=1+0.01t. Se conecta en serie con un condensador de 0.1F y un generador con una fem de 100v.la...