Aplicaciones De Ecuaciones Diferencial a Circuitos Electricos

Libro: Ecuaciones diferénciales aplicadas
Edicion: 3er edición
Autor: MURRAY R. SPIEGEL

Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y uninductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cie rra en tiempo t = 0, establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.

Formulación matemática. Como escostumbre dibujamos el diagrama físico llamando Z la corriente en amperios que fluye como se ilustra, tenemos:
(1) voltaje suministrado = 100 voltios.
(2) caída de voltaje a través de la resistencia(RZ) = 10 Z.
(3) caída de voltaje a través del inductor (L dZ/dt) = 2 dZ/dt. De donde, por la ley de Kirchhoff.

100=10I+2dIdt Ó dIdt+ 5I=50 (3)

Puesto que elinterruptor se cierra en t = 0, debemos tener Z= 0 en t = 0.

Solución La ecuación diferencial (3) es una ecuación de primer orden lineal con factor integrante es e5t. Multiplicado por este factorda:
ddte5tI=50e5t Ó e5tI=10e5t+C Esto es, I=10+Ce-5t

Puesto que I=O en t=O, c= -10.
Así I = 10(1-e-5t).


Otro método. La ecuación (3) puede tambiénresolverse por separación de variables.
El gráfico de Z contra t se muestra en la siguiente figura. Note que la corriente es cero en t = 0 y crece hacia un máximo de 10 amperios aunque teóricamentenunca lo alcanza.

Formulación matemática. La única diferencia es que 20cos5t remplaza a 100 en la ecuación (3). De donde, la ecuación requerida es

10I+2dIdt=20cos5tó dIdt+ 5I=10cos5t (4)

Solución Multiplique la segunda ecuación en (4) por el factor integrante e5t. Luego

ddte5tI= 10e5tcos5t y e5tI=10 e5tcos5tdt = e5tcos5t+sen5t+ C

ÓI=105t+sen5t+ce-5t

Puesto que I=O en t=O, tenemos c= -1. Así, I = cos5t + sen5t - e-5t.

Una fem decayente E = 2OOe-5t se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un condensador de...