Aplicación Geométrica de la Derivada

Interpretaci´n Geom´trica de la Derivada
o
e
Alvaro Bustos

Noviembre 2006

Dafne Ib´~ez
an

´
Indice
1. Introducci´n
o

2

2. Interpretaci´n Geom´trica de la Derivada
o
e

3

3. M´ximos y M´
a
ınimos

4

4. Monoton´ y Concavidad
ıa

6

5. M´ximos y M´
a
ınimos Locales

9

6. Conocimiento de las Funciones a trav´s de la Derivada
e

11

7. Teorema delValor Medio

14

1

1.

Introducci´n
o

Algunas de las aplicaciones m´s importantes del c´lculo diferencial son los problemas de
a
a
optimizaci´n, en los cuales se nos pide la manera ´ptima de hacer algo. Estos problemas se
o
o
pueden reducir a encontrar los valores m´ximo y m´
a
ınimo de una funci´n.
o
Para esto, se puede utilizar las herramientas que la Derivada nos ofrecepara determinar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento y la concavidad de la funci´n que se estudia.
o
Para la elaboraci´n de este trabajo se recurri´ a las fuentes [1], [2], [3] y [5], los que pueden
o
o
utilizarse para un estudio m´s acabado de la materia que trata este apunte.
a
Tambi´n fueron de gran ayuda nuestros apuntes personales de la asignatura de C´lculo I, los
e
a
quesirvieron para dar forma a este trabajo.

2

2.

Interpretaci´n Geom´trica de la Derivada
o
e

Consideremos la curva y = f (x). Tracemos la recta secante a la curva que pasa por los puntos
(a, f (a)) y (a + h, f (a + h)), con h positivo y fijo.
y

y = f (x)
f (a + h)
f (a + h) − f (a)

α

f (a)

x
a

a+h
h

Esta recta secante forma un ´ngulo α(h) con la parte positivadel eje x, cuya tangente es
a
f (a + h) − f (a)
h
Si hacemos tender h a 0, la recta secante va transform´ndose en una recta que tiende a tocar a la
a
curva solamente en el punto (a, f (a)).
tan(α(h)) =

La pendiente de esta recta, que es tangente a la curva en el punto (a, f (a)) es:
f (a + h) − f (a)
= f ′ (a)
h→0
h

mtan(α) = l´
ım

Si este l´
ımite existe, se llama derivadade la funci´n f evaluada en el punto a; y la funci´n se
o
o
dice derivable en a
3

3.

M´ximos y M´
a
ınimos

Definici´n 1 Una funci´n f tiene un m´ximo absoluto (o m´ximo global) en c si
o
o
a
a
f (c) ≥ f (x) para todo x en D, donde D es el dominio de f . El n´mero f (c) se llama valor
u
m´ximo de f en D. An´logamente, f tiene un m´
a
a
ınimo absoluto (o m´
ınimo global) enc si
f (c) ≤ f (x) para todo x en D; el n´mero f (c) se denomina valor m´
u
ınimo de f en D. Los valores
m´ximo y m´
a
ınimo se conocen como los valores extremos de f [3]
- La cuesti´n de la existencia. ¿f tiene un valor m´ximo (m´
o
a
ınimo)? La respuesta depende del
conjunto D. Consideremos la funci´n f (x) = 1/x en D = ]0, ∞[. f no tiene valor m´ximo ni
o
a
m´
ınimo. Pero lamisma funci´n en el intervalo [1, 3] tiene un valor m´ximo, que es f (1) = 1; y un
o
a
valor m´
ınimo, f (3) = 1
3

4
3
2
f (x) =

1
x

1

2

1
3

4

La respuesta tambi´n depende del tipo de funci´n. Consideremos la funci´n definida por tramos
e
o
o
g(x) =

x
si 1 ≤ x < 2
x − 2 si 2 ≤ x ≤ 3

En D = [1, 3], g no tiene valor m´ximo (se acerca arbitrariamente a 2 peronunca lo alcanza). Sin
a
embargo, g tiene el valor m´
ınimo g(2) = 0

4

3
2
1

y = g(x)

1

2

3

Para dar la respuesta justa a esta pregunta, tenemos el siguiente
Teorema 1 (Existencia de m´ximo y m´
a
ınimo) Si f es cont´
ınua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f alcanza un valor m´ximo y un valor m´
a
ınimo en ese intervalo. [5]
- ¿En d´nde se presentan estosvalores extremos? Por lo com´n, la funci´n a estudiar
o
u
o
′
tendr´ como dominio un intervalo I. Si c es un punto en el que f (c) = 0, lo llamamos punto
a
estacionario. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios. Si c es un punto
´
interior de I, en donde f ′ no exista, decimos que c es un punto singular. Este es un punto en
donde la gr´fica de f tiene una...