Derivada

Aplicaciones de la Derivada:

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada paraestudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
[pic]
Por el criterio de la primeraderivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
[pic]
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
[pic]
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, paradeterminar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluandopara x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

Teorema del Valor Medio:
Si fes continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:
[pic]".
Ejemplo:
[pic]
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
 
En nuestro caso seaf(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo laderivada:
 
[pic]
Aplicando el teorema:
 
[pic]
 
Pues f(1)=ln 1=0
 
Y como para x distinto de cero:
 
[pic]

Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
 
[pic] Comoqueríamos probar.

 

Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre ay b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2-7x-10
en el intervalo [-1, 2]

f'(x)=3x2+ 8x-7

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
 
f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por... [continua]

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