APLICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Aplicaciones a la Biología:
Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el
de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de
varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hastala misma
humanidad sorprende a la imaginación.
Crecimiento Biológico:
Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un
organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
dy / dt = y
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientrasque el
decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es
que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es
limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una
célula o individuo dejade crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
Formulación Matemática:
Supongamos que y denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede
referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:
dy / dx = F(y) y = Yo para t=0
Donde Yo representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiadapero
aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación
de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y − y² , y = Yo para t = 0.
Puesto que la ecuación F(y) = y − y² es de variables separables, tenemos
dy / y − y² = dt ó " dy / y ( − y) = t + c
esto es, "1/ [1/y + / − y]dy = t + c
= 1/ [ln y − ln ( − y)] = t + c
Usando lacondición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:
Y=/__
1

1 + [/ / Yo − 1] e
Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que:
Ymax = lim Y = /
t!"
Por simple álgebra encontramos:
Ymax = lim Y = Y1(Yo − 2YoY2 + Y1Y2)
t!" Y1² − YoY2
Ejemplo:
Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Useestos datos
para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
Edad
Nacimiento
1 año
2 años
3 años
4 años
5 años
6 años
7 años
8 años

Altura (pul)
19.4
31.3
34.5
37.2
40.3
43.9
48.1
52.5
56.8

solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4
años y 8 años, respectivamente. Así tenemos queYo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la
altura media máxima requerida.
Problemas de Epidemiología:
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una
enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo aotro. La ciencia que
estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población
adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello
presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que
tenemos unapoblación grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un
colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente
largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos
que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la...