Aplicacion de las transformaciones lineales

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo

 )

Sea 

  un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cuales la transformación  T  de 

  en  

 que gira cada vector  

 un ángulo 

, para obtener un vector 

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funcionestrigonométricas, tenemos que:




Distribuyendo y usando el hecho de que  






 y  

          tenemos que:




Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación 

 talque  

.
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo 

 y es lineal, ya que:








Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como estádefinida la transformación T  de 

  en 
que cada vector 

 lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:

 
 
 
En este caso, la situaciónes más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:


Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y eslineal, ya que:








 
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de 

  en 

que a cada vector 

 loproyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector  

. En una gráfica, vemos la situación como sigue:



También este caso es sencillo, pues es obvio que  T  queda definida comosigue:


Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:






Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos elsiguiente subespacio de 

:


Vemos que  éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, 

 tiene un complemento directo, a saber, 

De tal forma  que cada...