aplicacion del circulo de mor

ANEXO A

EL CÍRCULO DE MOHR:
APLICACIÓN A SITUACIONES
BIDIMENSIONALES

A.1.

DESARROLLO DEL CÍRCULO DE MOHR

Supongamos el sólido de la figura sometido a un estado tensional plano(σz=τzx=τzy=0). Sea P un punto elástico (Punto geométrico más un entorno
material de forma paralelepipédica de lados infinitesimales) de su interior.
Su estado tensional vendrá definido por las tensiones σx,σy y τxy tal como se
representa en la figura.

Figura A.1
El criterio de signos para estas tensiones que se adopta es el siguiente:
Tensiones normales: positivas si son de tracción y negativassi fueran de
compresión.
Tensiones tangenciales:

Figura A.2

Supongamos que deseáramos determinar las tensiones en una dirección
cualquiera como la definida en la figura mediante el ángulo θ:Figura A.3
Antes de continuar, conviene dejar claro que, los signos de las tensiones
actuantes sobre el plano considerado, son las siguientes:
- La tensión normal será positiva si es de tracción- La tensión tangencial es positiva si desde el centro del punto elástico
produjera un giro en sentido horario, tal como se indica en la figura
siguiente.

Figura A.4
r
Las componentes delvector tensión actuante σ ′ sobre el plano considerado,
así como sus componentes normal y tangencial, pueden calcularse como
sigue:

Figura A.5
⎛ σ′ ⎞ ⎛ σ
x
x
⎜ ⎟ ⎜
=
⎜ ′⎟ ⎜
⎝ σ y ⎠ ⎝ τ xyτ xy ⎞ ⎛ cos θ ⎞
⎟⎜
⎟
⎟
⎟⎜
σ y ⎠ ⎝ sen θ ⎠

⇓

σ n = σ x cos2 θ + τ xysen2θ + σ y sen2θ ⎫
⎪
⎬Ecs.(1)
σy
σx
sen2θ −
sen2θ − τ xy cos 2θ ⎪
τ =
2

⎭

2

Las Ecs. (1) puedenponerse como:

⎫
σ x + σ y ⎤2 σ x − σ y
⎡
=
σn −
cos2θ + τ xysen2θ ⎪
⎥
⎢
2
2
⎦
⎣
⎬
σx − σy
⎪
τ=
sen2θ − τ xy cos2θ
⎭
2

(2)

Operando se obtiene:

σ x + σ y ⎤2 2
2
⎡
1
σn −
σx − σy + τ 2
+τ =
xy
⎢
⎥
2
4
⎣
⎦
144 2444
4
3
¡ Independiente de ϑ !

(

)

(3)
que corresponde a la ecuación de una circunferencia de centro

(σ x + σ y )/2
y radio

(4)...