Aplicación de la derivada en máximos y mínimos (área máxima de un cono a partir de un círculo)

Introducción:

Las matemáticas son una herramienta que se utiliza diariamente en todos lados, y por lo tanto, para todo lo que hagamos o suceda en la naturaleza, encontraremos una explicación,matemática, y en este caso, se encontrará en la elaboración de un cono.

Comenzando porque el área de un cono es una medida que podemos obtener de la superficie de un círculo, siempre y cuandoapliquemos adecuadamente una serie de pasos que nos llevarán al resultado final.

Se utilizará la doble derivada para poder elaborar un cono de área máxima utilizando una determinada cantidad de material,con el fin de aprovechar la mayor cantidad de material posible. Y se necesitará utilizar varias funciones, incluyendo la función del volumen del cono, para de esta forma, realizar una serie de despejes,que nos lleven a obtener los valores necesarios utilizando datos ya previamente dados.

Desarrollo:

En el trabajo se utilizan todos esos cálculos para llegar al volumen del cono:
Volumen delcono = [pic]h

1) 2[pic]r = 2[pic]R – x2[pic]R

2) r = R – xR

r = R(1 – x)

3)

R2=h2 + r2
h2=R2 − r2
h= [pic]
h= [pic]
h= [pic]
h= R[pic]
h= R[pic]
h= R[pic]

4)

V(x)=[pic]πR2(1 - x) 2R(2x - x2)1/2

V(x) = [pic] πR3(1 - x) 2(2x - x2)1/2

V’(x) = [pic]πR3[(1 - x) 2 [pic] (2x - x2)- 1/2(2-2x) +(2x - x2)-1/22(1 - x)(-1)]

V’(x) =[pic]πR3[[pic] (1 - 2x + x2)(2x -x2)-1/2(2 - 2x) -2(2x - x2)-1/2(1 - x)]

V’(x) = [pic]πR3(1 - x) (2x - x2)-1/2[(1 - 2x + x2) -2 (2x - x2)]

V’(x) = [pic]πR3(1 - x) (2x - x2)-1/2[1 - 2x + x2 - 4x + 2x2]

V’(x) = [pic]πR3(1 - x)(2x - x2)-1/2(3x2 - 6x + 1)

V’(x) = [pic]πR3(1 - x) (3x2 - 6x + 1) ÷ [pic]

V’(x) = [pic] [(3375 − 3375x) (3x2 -6x+ 1)] ÷ [pic]

1. [pic]= 0

3375x − 3375 = 0

3375x = 3375

x = [pic]x = 1

2.- 2x − x2=0

2(2x)=0

x = 2

3.- 3x2 − 6x + 1 = 0

x = 6±[pic] ÷ 2(3)

x= 1.81
x= .18

360 – 1
x – .18

x = 360(.18)
x = 64.8º

r = 15(1 − x)
r = 15(1 − .18)
r =...