aplicacion ecuaciones diferenciales en sistemas

ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Y
SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS
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GENERALIDADES.
1. Introducción.
Muchos problemas de la Física, la Ingeniería y muchas otras ramas del saber humano conducen de forma
natural a ecuaciones diferenciales: problemas de la Mecánica, problemas dinámicos, problemas de
estructuras, problemas de circuitos eléctricos y electromagnetismo,modelos poblacionales, etc., etc.
En el caso más sencillo se desea obtener una función y = y(x) en un intervalo [a,b], cuya derivada y’(x) es
conocida como función de x. Es decir, se trata del problema
Hallar y(x) : y’(x) = f(x), x ∈[a,b] (P1)
Del cálculo elemental se sabe que si yp (x) es una solución de (P1), también lo es y(x) = yp(x) + k,
para cada real k. Las técnicas elementales deintegración permiten obtener en algunos casos una primitiva
de f(x) , que posibilita la construcción de la solución general de la ecuación diferencial
y(x) =
f (x)dx + k
y conociendo el valor de y en algún punto, por ejemplo a, puede determinarse una de entre las infinitas
soluciones del problema
y x y a f t t
a
x
( ) = ( ) +
( )d
Sin embargo, no siempre es posible, con los métodoselementales, obtener una primitiva de f(x). Este es
el caso de f(x) = senx/x, entre otros. La teoría del Cálculo Integral asegura, no obstante, la existencia de
primitivas para esta función. El problema es que no se conocen expresiones, ‘fórmulas’, al menos
sencillas, para expresar tales primitivas. Pero la ‘sencillez’ es un concepto relativo. Hay personas para
las que todo lo que no son sumas y restasno es sencillo (también éste es el caso del ordenador) . Otras
pueden operar con productos, divisiones, potencias, radicales. Otras, con funciones transcendentes.
Realmente y x x
x
x
a
b
( ) =
sen d no es una fórmula sencilla para quien no conoce la operación de integrar.
Sin embargo, para un ordenador debidamente instruido, el cálculo de y x t
t
t
a
x
( ) =
sen d para un x∈[a,b]
no representa más dificultad que el cálculo de senx/x. Quizá, en todo caso, deba realizar más sumas y
restas para obtener y(x), que para obtener senx/x.
Por otra parte, el conocimiento de que senx/x es la derivada de cierta función ya proporciona, si se
utilizan ideas adecuadas, una información importante sobre dicha función. Así que la necesidad de
diseñar métodos numéricos e instruiradecuadamente al ordenador para que resuelva de manera
aproximada tales problemas es obvia; pero aplicar métodos numéricos sin un análisis previo del problema
puede resultar estéril.
Avancemos un poco más en dificultad. La mayor parte de ecuaciones diferenciales ordinarias, las más
interesantes, no expresan la derivada de y(x) en función sólo de x, sino también en función de la propia
funciónincógnita y(x). Así, un problema más interesante que P1, a la vez que menos sencillo, es
Hallar y(x) : y’(x) = f(x,y), x ∈ [a,b] (P2)
Como para el caso de (P1), bajo ciertos requerimientos, puede probarse que existen infinitas funciones
que satisfacen la ecuación diferencial y’ = f(x,y), aunque ahora no difieren necesariamente sólo en una
constante; y con información adicional, como el valor de y ena, es posible, a veces, determinar una de
ellas. Obviamente, el proceso de obtención de esas soluciones, si es posible diseñarlo, será mucho más
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complejo que el de la simple integración. De hecho en la integración de una ecuación diferencial, -
cuando se puede llevar a cabo de manera directa-, se realizan una o varias integraciones elementales. En
consecuencia, no cabe esperar un métodouniversal de solución de ecuaciones diferenciales.
Por tanto, es imprescindible disponer de métodos numéricos adecuados, pero, repetimos de nuevo, el
análisis previo al problema es el mejor, a veces único, punto de partida. La presente práctica se dedica a
proporcionar un primer recorrido por los métodos de análisis y numéricos más elementales.
Analicemos previamente cómo se presentan los...