Aplicacion empresarial del calculo vectorial

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES G.A.D.E. CURSO 2010/2011 Práctica 2:

Aplicaciones a la Optimización.
En esta práctica se introducen las herramientas que nos ofrece el programa Mathematica para optimizar funciones de una o más variables.

1. Breve resumen de optimización sin restricciones en varias variables.
Pretendemos resolver el problema de calcular puntos críticos de una función f yclasificarlos. Paso 1: Cálculo de puntos críticos. Los puntos críticos de la función son aquellos puntos que anulan su vector gradiente. Paso 2: Estudiar la matriz hessiana evaluada en los puntos críticos: Criterio 1: Determinantes o menores principales. Criterio 2: Autovalores o valores propios. Se recuerda que si la matriz hessiana evaluada en un punto crítico está asociada a una forma cuadráticadefinida positiva, entonces éste será un mínimo local y si es definida negativa, un máximo local. En el caso de que sea indefinida, será un punto de silla (no nos interesa en la optimización).

2. Cálculo de puntos críticos y clasificación.
Para el cálculo de puntos críticos de una función, emplearemos la sentencia
Solve derivada1 0, derivada2 0, ... , variable1, variable2, ...

donde derivada1,derivada2,... corresponden a las derivadas parciales de orden uno respecto de la primera, segunda,.... variables. Ejercicio 1 Calcula y clasifica los puntos críticos de la función g x, y, z Paso1: Se define la función:
g x_, y_, z_ : x ^ 2 y^2 z 1 ^2

x2

y2

z

1 2.

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solvex

g x, y, z

0,

y

g x, y, z

0,

z

g x, y, z

0 , x, y, z

Se obtiene el punto crítico (0,0,1). Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:

2

Practica2.nb

x,x g

x, y, z z, y, z

x,y g

x, y, z x, y, z

x,z g

x, y, z x, y, z

hessiana x_, y_, z_

y,x g x, y, z z,x g

y,y g x, y, z z,y gy,z g x, y, z z,z g

Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores propios y por tanto su carácter.
hessiana 0, 0, 1 Eigenvalues hessiana 0, 0, 1

Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar el valor del mínimo, evaluamos la función enel punto crítico:
g 0, 0, 1

Ejercicio 2 Optimiza la función f x, y Paso1: Se define la función:
f x_, y_ : x ^ 2 xy y^2

x2

yx

y2

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solve
x

f x, y

0,

y

f x, y

0 , x, y

Se obtiene el punto crítico (0,0). Paso 3: Para la clasificación del punto crítico,debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:
x,x f y,x f

x, y x, y

hessiana x_, y_

x,y f y,y f

x, y x, y

Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores propios y su carácter.
hessiana 0, 0 Eigenvalues hessiana 0, 0

Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y elpunto crítico es un mínimo local. Para hallar el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico:
f 0, 0

Luego tenemos un mínimo local en (0,0) con valor f 0, 0 Plot3D estudiado en la práctica anterior:
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 2, 2

0. Para visualizar dicho mínimo podemos recurrir al comando

Ejercicio 3

Practica2.nb

3

Ejercicio 3 Calcula y clasifica los puntoscríticos de la función h x, y, z Paso1: Se define la función:
h x_, y_, z_ : x 1 ^2 y 2 ^4 z^2

x

1

2

y

2

4

z2

x y.

xy

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solve
x

h x, y, z

0,

y

h x, y, z
1 4 2 1 4

0,

z

h x, y, z
1 4 2

0 , x, y, z
1 4

Se obtienen los puntos...