Aplicaciones De Ecuaciones Diferenciales

1. CIRCUITOS

2.1. Circuitos eléctricos L-R en serie

La segunda ley de Kirchhoff dice que en un circuito en serie que contiene solo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor (Ldidt) y del resistor (iR) es igual a la tensión (E(t)) aplicada al circuito, de tal modo se obtiene la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t) .
Ldidt +Ri = E(t)
En donde L y R son constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. A veces la corriente i(t) se llama respuesta del sistema.

2.2. Circuitos eléctricos R-C en serie

La caída del voltaje a través de un capacitor con capacitancia C esta dada por q(t)C, en donde q es la carga del capacitor o condensador. Por consiguiente la segunda ley de Kirchhoff da:
Ri+ (1C) q = Et
Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i=dqdt; por lo tanto la ecuacion anterior se transforma a una ecuacion diferencial lineal
R (dqdt) + (1C) q = Et

2.3. Ejemplo
Una batería de 12V se conecta a un circuito simple en serie en el cual la inductancia es 1/2 H (henrys) y la resistencia, de 10Ω. Determinar la corriente i si la intensidad inicial es cero.SOLUCION
12didt+10i=12
12didt+10i=12*2
didt+20i=24
P(t) = 20 G(t) = 24 U(t)= e20 dt = e20t
it= 1e20t 24e20tdt w = 20t dw = 20dt
it= 1e20t 24ewdw20
it= 1e20t 2420ewdw
it= 1e20t 2420 e20t+c
it= 65 + c e20t
Según las condiciones iniciales en t = 0 la intensidad inicial it=0, entonces
0= 65 + c
c = - 65La ecuación que define la corriente es
it= 65- 65 e20t



2. MEZCLAS

Al mezclar dos líquidos da lugar a una ecuación diferencial lineal de primer orden. No importando el tipo de mezcla que se presente, todo problema de mezclado viene dado por la ecuación diferencial:
ddt Qt=rapidez con la que entra la sustancia- rapidez con la que sale la sustancia
ddt Qt=ReCe- RsCs
DondeQ (t) es la cantidad de soluto presente en la mezcla en un tiempo determinado, Re la tasa de entrada de la mezcla y Rs la tasa de salida de la mezcla

3.4. Ejemplo
En un tanque que contiene 1 000L de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 20 L/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la misma razón.Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0,01 kg/L, determinar:
1. La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t.
SOLUCION
Sea Q (t) la cantidad (en kg) de sal en el tanque después de t min. Como inicialmente se tienen 5 kg de sal, entonces Q (0) = 5.
La rapidez de cambio de la cantidad Q (t) de sal en el tanque en el instante t es:
ddt Qt=rapidez conla que entra la sal- rapidez con la que sale la sal
La rapidez con la que entra la sal al tanque es:
ReCe = (20 L/min) (0.01kg/L) = 0.2 kg/min
Pero para calcular la rapidez con la que la sal sale del tanque debemos tener en cuenta lo siguiente:
* Rs = 20 L/min
* Ya que la solución entra a razón de 20 L/min y sale a la misma razón, deducimos que el volumen en el tanque es constante: V =volumen inicial = 1000L
* Después de trancurrido t minutos hay Q(t) en kg de sal disueltos en 1000 L de solución, por lo que la concentración de la sal en la solución que sale es:
Cs = QtV= Qt1000kgL
* Encontrando la concentración podemos decir que la rapidez con la que la sal sale del tanque es:
RsCs = (20 L/min) (Qt1000kgL) = Qt50kgmin
Entonces la rapidez de cambio de la cantidadQ (t) de sal en el tanque, después de t minutos es:
ddt Qt=ReCe- RsCs = 0,2 - Qt50kgmin
Planteamos una ecuación diferencial lineal y la resolvemos
ddt Qt+ Qt50kgmin= 0,2 con Q (o) = 5
P (t) = 150 G (t) = 0,2 U(t) = ePtdt = e150dt = e150t
Q(t) = e- 150t 0,2 e 150t dt w = 150t 50dw= dt
Q(t) = e- 150t 0,250 ew dw
Q(t) = e- 150t 10 ew dw...