Ecuaciones Diferenciales Aplicada

Sistemas discretos y continuos

Sistemas discretos son aquéllos cuya configuración geométrica puede definirse a través de un número finito de coordenadas generalizadas; tales son los sistemas que están constituidos por subsistemas indeformables, es decir, por partículas y cuerpos rígidos.
Sistemas continuos, son aquéllos cuya configuración geométrica no puede de finir se por un número finitode coordenadas generalizadas; la característica principal de los sistemas continuos es la presencia en ellos de elementos deformables, en los cuales se hace necesario el uso de funciones dela posición y del tiempo o sólo de la posición, para definir la configuración deformada de tales elementos.
La estática de sistemas continuos se rige por ecuaciones diferenciales en donde las variablesindependientes son las coordenadas espaciales; tratándose de una sola variable, tendremos ecuaciones diferenciales ordinarias; cuando hay más de una variable espacial, tendremos ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. En la dinámica de sistemas continuos una variable independiente adicional es el tiempo y tales problemas se rigen siempre por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales.
En lossistemas discretos, por cuanto las coordenadas generalizadas ocurren en un número finito, la estática se rige por ecuaciones algebraicas y la dinámica por ecuaciones diferenciales ordinarias, en donde la variable independiente es el tiempo. Los sistemas discretos no existen en el mundo físico real; son sólo un modelo abstracto que, en algunos casos, pueden representar satisfactoria oconvenientemente una situación real. Los sistemas continuos modelan más satisfactoriamente la realidad física, pero aún es necesario introducir hipótesis simplificativas en las leyes que rigen su comportamiento para poder llegar a la formulación de un modelo manejable matemáticamente.
Discretización De Sistemas
En la vida real existen sistemas continuos y para poder trabajar con ellos en los sistemas entiempo discreto se debe realizar un procedimiento que se denomina desratización. El fin de este procedimiento es que los sistemas en tiempo discreto se comporten aproximadamente igual que un sistema en tiempo continuo. El problema no tiene solución exacta en general, aunque las diferentes técnicas que se utilizan son de frecuente aplicación, si el período de muestreo es pequeño.

Los métodos quese utilizados están basados en la idea de reconstruir la entrada con un retenedor. Resulta entonces una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de la entrada que el retenedor reconstruya exactamente. Son las más laboriosas de obtener, exigiendo en la mayoría de los casos, un desarrollo en residuos.
Para discretizar la función de transferencia con este método, después del muestreador secoloca el retenedor, este puede ser, unitario, de orden cero (ZOH) o primer orden (FOH), según corresponda.

Ecuaciones en diferencias

Una ecuación en diferencias es una expresión que relaciona distintas sucesiones, siendo una de ellas una sucesión desconocida.
Son similares a las ecuaciones diferenciales, sustituyendo las funciones por sucesiones.
Para su resolución suele utilizarse elmétodo de la transformada Z
Uno de los conceptos más importantes para él es poder representar la relación de entrada y salida de cualquier sistema. Una ecuación de diferencia de coeficiente linear constante (LCCDE) nos sirve para expresar esta relación en un sistema discreto. El escribir la secuencia de entradas y salidas, las cuales representan las características del sistema LTI, como una ecuaciónde diferencia nos ayuda entender y manipular el sistema.

Formulas Generales para la Ecuación de Diferencia
Es una ecuación que muestra la relación entra valores consecutivos de una secuencia y la diferencia entre ellos. Usualmente se escribe en una ecuación recurrente para que la salida del sistema se pueda calcular de las entradas de la señal y sus valores anteriores.

La forma general...