Aplicaciones de la recta tangente

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Aplicaciones: recta tangente en un punto                9.1

Significado geométrico de la recta tangente en un punto

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Ejemplos

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Ejercicios resueltos

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Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

1

Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

y' = 3x2 − 6x − 9;     x2 − 2x −3 = 0 (simplificando por 3)

x1 = 3 y1 = −22

x2 = −1y2 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

2

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

f' (x)= 3x2f' (a)= 3a23a2=3a = ±1

Las ecuaciones de la rectas tangentes son:

a = 1 f(a) = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2

a = −1 f(a) = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2   

El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x − 2.

Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

3Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

m = 1

f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1

4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1

x = 0 x = −2 x z= 13/4

P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

4

Dada la función f(x) = tg x, hallarel ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.

f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

5

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.[pic]

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Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

6

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Pasa por (0, 3) 3 = c

Pasa por (2, 1) 1= 4a+ 2b + c

y' = 2ax + b 3 = 4a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 2 b = −5 c = 3

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7

La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13), siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valornumérico de a, b y c.

Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c

y' = 2ax + b 1 = 2a + b

Resolviendo el sistema se obtiene:

a = 3 b = −5 c =1

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

8

Dada la función  f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1,2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2

f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9  

Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

9

¿En quépunto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

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Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas resueltos

10

La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la...
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