Recta tangente

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RECTA TANGENTE

Teorema: Si una ecuación de una curva C es F ( x , y ) ’ 0 y si F es diferenciable
y F x y F y no son cero simultáneamente en el punto ( ) P 0 x 0 , y 0 de C , entonces
( ) ∇ F x 0 , y 0 es un vector normal en C en P 0

La ecuación de la recta tangente en el punto ( ) P 0 x 0 , y 0 de la curva contenida en el plano X Y si F ( x , y ) ’ 0 , es:
( ) ( ) ( ) ( ) F x x 0 , y 0x − x 0 + F y x 0 , y 0 y − y 0 ’ 0
La cual se puede expresar como:
( ) ( ) ( ) ∇ F x 0 , y 0 ⋅ ⎡⎣ x − x 0 i + y − y 0 j ⎤⎦ ’ 0
Ejemplo:
Determinar una ecuación de la recta tangente a la curva x 3 + y 3 ’ 9 en el punto
( 1 , 2 )
VALORES EXTREMOS Y PUNTOS SILLA
Las funciones continuas definidas sobre regiones cerradas y acotadas en el plano
X Y alcanzan sus valores máximo y mínimo absolutossobre esos dominios. Es
importante poder encontrar esos valores y saber donde ocurren. A menudo se puede
lograr esto si se examinan las derivadas parciales.
PRUEBAS DE LA DERIVADA
Para encontrar los valores extremos locales de una función de una sola variable, se
buscan los puntos donde la gráfica tiene una recta tangente horizontal, en dichos puntos
se buscan los máximos locales, mínimoslocales y los puntos de inflexión.
Para el caso de una función f ( x , y) de dos variables, se buscan puntos donde la
superficie z ’ f ( x , y) tiene un plano tangente horizontal, en dichos puntos se buscan
los máximos locales, mínimos locales y los puntos silla.
Definiciones:
Sea f ( x , y) definida sobre una región R que contiene el punto ( a , b ) . Entonces:
1.- f ( a , b ) es una valormáximo local de f si f ( a , b ) ≥ f ( x , y) para todos los
puntos del dominio ( x , y) de un disco abierto con centro en ( a , b )
2.- f ( a , b ) es una valor mínimo local de f si f ( a , b ) ≤ f ( x , y) para todos los
puntos del dominio ( x , y) de un disco abierto con centro en ( a , b )
NOTA: Los extremos locales también se llaman extremos relativos.
Matemáticas II
2
PRUEBA DE LAPRIMER DERIVADA PARA VALORES DE EXTREMOS
LOCALES
Si f ( x , y) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior ( a , b ) de su
dominio y si las primeras derivadas parciales existen ahí, entonces f x ( a , b ) ’ 0 y
f y ( a , b ) ’ 0
Los únicos lugares en que una función f ( x , y) puede tener un valor extremo son
1.- Puntos interiores donde f x ’ f y ’ 0
2.- Puntos interiores donde unao ambas de f x y f y no existan
3.- Puntos frontera del dominio de la función
Definición: Un punto interior del dominio de una función f ( x , y) donde
f x ’ f y ’ 0 o donde una o ambas de f x y f y no existen, es un punto crítico.
Definición: Una función diferenciable f ( x , y) tiene un punto silla en un punto crítico
( a , b ) si en todo disco abierto con centro en ( a , b ) hay puntosdel dominio ( x , y)
donde f ( x , y) < f ( a , b ) . El punto correspondiente ( a , b, f ( a,b ) ) sobre la
superficie z ’ f ( x , y) se llama punto silla de la superficie.
Ejemplo:
Encontrar los valores extremos locales de:
1.- f ( x , y) ’ x 2 + y 2
2.- f ( x , y) ’ y 2 − x 2
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA VALORES DE EXTREMOS
LOCALES
Supongamos que f ( x , y) y sus primeras ysegundas derivadas parciales son continuas
en todo disco abierto con centro en ( a , b ) y que f x ( a , b ) ’ f y ( a , b ) ’ 0 .
Entonces:
1.- f tiene un máximo local en ( a , b ) si f x x < 0 y f x x f y y − f x2 y > 0 en
( a , b )
2.- f tiene un mínimo local en ( a , b ) si f x x > 0 y f x x f y y − f x2 y > 0 en
( a , b )
3.- f tiene un punto silla en ( a , b ) si f x x f y y − f x2 y < 0 en( a , b )
4.- La prueba esta inconclusa en ( a , b ) si f x x f y y − f x2 y ’ 0 en ( a , b ) .
En este caso se tiene que encontrar la manera de determinar el comportamiento de f
en ( a , b ) .
Matemáticas III

3
NOTA: La expresión 2
D ’ f x x f y y − f x y se llama DISCRIMINANTE O
HESSIANO de la función f , esto es:
x x x y
y x y y
f f
D
f f

Ejemplos:
Determinar los valores...
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