Aplicaciones

 
APLICACIONES MÉTODOS DE FOURIER EN LA SOLUCIÓN DE
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

1. Introducción                                                                    
2. Ecuaciones en derivadas parciales
3. Funciones ortonormales
4. Ecuaciones especiales, modelos matemáticos
5. Aplicaciones del método de Fourier - Ecuaciones de la ondaunidimensional                                                                                       
6. Referencias bibliográficas                                                                      
            
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1. INTRODUCCION
El aparato del análisis matemático en el transcurso del siglo XVIII se desarrolló con rapidez extraordinaria tomando una forma próximo al actual. La diferenciación y también laintegración mediante funciones elementales fueron, en lo fundamental, concluidas. Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como las parciales, poco a poco se convirtieron en una parte importante del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo. Junto a la elaboración de los métodos de resolución de las clases independientes de ecuaciones se formaron los elementos de la teoríageneral.
Sin embargo, la teoría de las ecuaciones diferenciales no podía desarrollarse durante mucho tiempo como un conjunto de procedimientos particulares de resolución de clases pocas numerosas de ecuaciones. La acumulación de estos procedimientos es necesaria, pero no suficiente, para la construcción de una teoría general. Ante los matemáticos cada vez más agudamente se presentaba el problemade la existencia de la solución y de su carácter.
Mucha de las ecuaciones en Física Matemática, son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden y lineales; esta claro que muchas de estas se obtienen por aplicación de principios básicos del análisis matemático y del análisis en forma detallada de una situación física concreta; así, las ecuaciones en derivadas parciales son de gran interésa causa de su conexión con fenómenos del mudo físico. El ámbito de la Física Matemática debe interpretarse en el sentido de la descripción de los fenómenos de la naturaleza en términos matemáticos. Por consiguiente en esta clase de ecuaciones se hallan no sólo las ecuaciones importantes de la Física Matemática moderna (tales como las ecuaciones de la teoría cuántica de Schrodinger y Dirac) sinotambién las ecuaciones importantes de la Matemática aplicada e Ingeniería .
La complejidad de la solución de una ecuación lineal, además de depender del orden de la ecuación, depende mucho del número de variables independientes que involucran. Por ello en el presente trabajo se trata de un método particular de solución por el método de Fourier. Por ejemplo la ecuación de Laplace es separable envarios sistemas de coordenadas, tres de los cuales son el sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z ), el sistema de coordenadas polares esféricos (r ,j ,q ) y el sistema de coordenadas cilíndricas (r , j , z). En estos dos últimos sistemas de coordenadas su estudio es de mayor importancia por sus aplicaciones en problemas de Ingeniería, considerando las bases teóricas consistentes se aplica en lasolución de la ecuación de onda unidimensional.
            
2.      ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
         2.1.      ECUACIONES LINEALES
            En esta breve introducción a las ecuaciones en derivadas parciales, nos interesamos en ecuaciones       lineales en dos variables:
                     
En donde A, B, C, ..., G son funciones de "x" y "y".
Cuando G(x,y)=0, sedice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que la ecuación es no homogénea. Existen grupos de ecuaciones diferenciales cuya solución es por integración.
                                            
La ecuación de segundo orden,
Se resuelve como lo haríamos para una ecuación diferencial ordinaria no homogénea lineal de segundo orden, es...