apmat

México 2010

Índice General
Unidad 1 Modelación matemática

1

1.1 Optimización (una variable)

1

1.1.1 Ángulo visual

1

1.1.2 Área

2

1.1.3 Campo magnético

7

1.1.4 Calor

7

1.1.5 Carga

7

1.1.6 Costo

8

1.1.7 Distancia

9

1.1.8 Dosis de medicamentos

13

1.1.9 Energía

14

1.1.10 Fuerza

17

1.1.11 Iluminancia

17

1.1.12 Masa18

1.1.13 Porcentaje de población

19

1.1.14 Potencia

19

1.1.15 Presión sanguínea

20

1.1.16 Rapidez de fotosíntesis

20

1.1.17 Rapidez de reacción química

20

1.1.18 Resistencia al flujo de la sangre

22

1.1.19 Resistencia de vigas

24

1.1.20 Rozamiento

24

1.1.21 Tiempo

25

1.1.22 Velocidad del aire de la tráquea al toser

26

1.1.23 Volumen26

1.2 Gráficas x(t), v(t), a(t)

29

1.3 Extremos de funciones de varias variables

30

1.3.1 Costo

30

1.3.2 Dosis de medicamentos

30

1.3.3 Temperatura

31

1.3.4 Volumen

31

1.4 Mínimos cuadrados

32

1.5 Multiplicadores de Lagrange

33

1.5.1 Distancia

33

1.5.2 Localización de un radiotelescopio

33

1.5.3 Presión parcial

34

1.5.4Temperatura

34

1.5.5 Volumen

34

1.6 Aplicaciones de la integral

36

1.6.1 Centro de masa

36

1.6.2 Fuerza

36

1.6.3 Masa

38

1.6.4 Trabajo

38

Unidad 2 Aplicaciones matemáticas a problemas de interés
general en ingeniería
41
2.1 Crecimiento de poblaciones

41

2.1.1 Crecimiento exponencial

41

2.1.2 Modificaciones del modelo exponencial

42

2.1.3Ecuación logística

45

2.1.4 Modificaciones del modelo logístico

50

2.2 Circuitos RC

53

2.2.1 Circuitos RC de una malla

53

2.2.2 Marcapasos cardiaco

56

2.3 Circuitos LR

57

2.3.1 Circuitos LR de una malla

57

2.3.2 Circuitos LR de dos mallas

61

2.4 Circuitos RCL

61

2.5 Decaimiento radiactivo

63

2.6 Ley del enfriamiento de Newton

69

2.7Mecánica

73

2.8 Mezclas

85

2.9 Resortes

92

2.10 Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

98

2.10.1 Cajas registradoras en supermercados

98

2.10.2 Cambio de masa y peso corporal

98

2.10.3 Capa límite en oceanografía

1008

2.10.4 Contaminación de lagos

101

2.10.5 Crecimiento de cristales

101

2.10.6 Crecimiento de inversiones

1022.10.7 Crecimiento de células

102

2.10.8 Curva de aprendizaje

103

2.10.9 Curvas de persecución

103

2.10.10 Dosis y eliminación de medicamentos y hormonas

104

2.10.11 Drenado de líquidos

107

2.10.12 Ecuación de Landau

109

2.10.13 Edad del universo

109

2.10.14 Evaporación

109

2.10.15 Genes heredados

110

2.10.16 Intensidad de la luz a ciertaprofundidad

110

2.10.17 Ley de radiación de Stefan

111

2.10.18 Número de empleados

112

2.10.19 Pérdida de calor

112

2.10.20 Presión barométrica

112

2.10.21 Propagación de un rumor

112

2.10.22 Propagación de una infección

113

2.10.23 Publicidad en ventas

117

2.10.24 Reacción química

118

2.10.25 Quita nieve

118

2.10.26 Respuesta a estímulos

119Unidad 3 Aplicaciones matemáticas a procesos específicos de
cada ingeniería
120
3.1 Series de Fourier

120

3.2 Ecuación de onda

123

3.3 Ecuación de calor

139

3.4 Ecuación de Laplace

140

Bibliografía

143

Unidad 1 Modelación matemática
1.1 Optimización (Una variable)
1.1.1 Ángulo visual
1. El borde inferior de la pantalla de un cine de 10 metros de altura estásituado a 3
metros por encima del ojo de un observador. ¿A qué distancia de la pantalla debería
sentarse el observador para conseguir la visión más favorable? Es decir, ¿cuál es la
distancia a la pantalla que maximiza el ángulo visual del observador?
Sol.

39 m

2. Dos corredores arrancan del punto S de la figura y un observador se encuentra en P
a 1 unidad de distancia desde la pista...