Aproximaciones y redondeos

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APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO

Cifras significativas
Las cifras significativas son conocidas también como dígitos significativos y se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico ya que son los dígitos que se pueden conocer con seguridad, tomando en cuenta que: “La primera cifra de izquierda a derecha distinta de cero es la cifra más significativa.La última cifra que se encuentre del lado derecho aunque sea cero, es la cifra menos significativa. Tomando en cuenta de que las cifras localizadas entre la mayor y menor de las cifras significativas, también lo son.
Un ejemplo de esto es el siguiente numero: 0.000 01845, los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Otro ejemplo es elnúmero 45300 puede tener 3, 4 ó 5 dígitos significativos, dependiendo los ceros que se conocen con exactitud. Para evitar la incertidumbre se usa la notación científica y quedan expresados de la siguiente manera:

* 4.53 x 104, tres dígitos significativos.
* 4.530 x 104, cuatro dígitos significativos.
* 4.5300 x 104, cinco dígitos significativos.

La importancia del concepto dedígitos significativos en el estudio de los métodos numéricos incide específicamente en dos aspectos:

1. Criterio para decidir la precisión de un método numérico.- Es aceptable un método cuando garantiza un determinado número de dígitos significativos en su resultado.

2. Criterio de paro.- Dado que los métodos numéricos son técnicas iterativas, puede establecerse que cuando sealcance un determinado número de dígitos significativos es condición suficiente para detener el método

Exactitud y precisión
En cuanto a la exactitud se refiere a la aproximación de un valor calculado respecto al valor verdadero que se supone representa, es decir, se refiere a que tan cercano está el valor calculado, registrado o medido del valor verdadero o preestablecido.

La precisión serefiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros diversos valores calculados o medidos, aunque también es considerada como el número de cifras significativas que representan una cantidad en la extensión de las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.
Definición de error
Un error se puede definir como la relación entre un valor observado y el valorconvencionalmente verdadero calculado, los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.
Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. Un error numérico es igual a ladiferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:
Error numérico = Valor verdadero – Valor aproximado

Error por redondeo
Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. Lo cual es muy común que en los computadores cortan los númerosdecimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo,
Por ejemplo, el valor de “e” se conoce como 2.718281828… hasta el infinito. Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo un error de E = 2.718281828 −2.71828182 = 0.000000008…
En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al errorintroducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.
Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final.

Errores por truncamiento
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una...
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