Apunte_EDOs_primer_orden_10

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA

Escuela de Formaci´on B´asica - Departamento de Matem´atica

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOs)

PRIMER ORDEN

Dirce Braccialarghe 1 - Ma. Susana Montelar 2

-2010-

1
2

dirce@fceia.unr.edu.ar
montelar@fceia.unr.edu.ar

´Indice
1. Introducci´
on

3

2. Definiciones y conceptos generales

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3. EDO de primer orden
3.1. EDO aVariables Separables . . . . .
3.2. Ecuaciones diferenciales homog´eneas
3.3. EDO Lineal . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . .
3.5. EDO Exacta . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Trayectorias Ortogonales . . . . . . .
4. Ejercitaci´
on

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EDOs - Primer Orden

1.

Introducci´
on

Las ecuaciones diferenciales surgen en el siglo XVII a partir de la necesidad de analizar y predecir fen´omenos naturales relacionados, fundamentalmente, con la Mec´anica,
la Astronom´ıa y laF´ısica. Su estudio constituye una de las ramas de la Matem´atica que
tiene m´as aplicaciones.
Se entiende por ecuaci´on diferencial cualquier ecuaci´on en la que intervienen una
funci´on y una o varias de sus derivadas con respecto a una o m´as variables independientes.
Muchas leyes de la naturaleza encuentran su expresi´on en el lenguaje de las ecuaciones
diferenciales. Son asimismo abundantes susaplicaciones en la propia Matem´atica, especialmente en Geometr´ıa, y tambi´en en Ingenier´ıa, Econom´ıa y en otros muchos campos
de las ciencias aplicadas. Es f´acil comprender la raz´on que se oculta tras una tan amplia
gama de aplicaciones. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos
de variaci´on est´an relacionados entre s´ı por medio de los principios cient´ıficosb´asicos que
gobiernan dicho proceso. Como es sabido, la derivada representa la raz´on de cambio de la
variable dependiente con respecto a la variable independiente. Resulta entonces natural
que las ecuaciones que involucran derivadas sean apropiadas para describir el universo
cambiante. Problemas relativos a la desintegraci´on radiactiva, al crecimiento de poblaciones, a las reacciones qu´ımicas, alenfriamiento, a la determinaci´on de la posici´on de un
objeto, etc. pueden formularse en t´erminos de ecuaciones diferenciales.
El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:
1. Descubrir la ecuaci´on diferencial que describa una situaci´on f´ısica espec´ıfica (formular el problema del mundo real en t´erminos matem´aticos, construir un modelo
matem´atico).
2.Determinar la soluci´on o familia de soluciones.
3. Interpretar la soluci´on.

Situaci´on del Mundo Real
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Modelo Matem´atico
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Resultados Matem´aticos

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ECUACION DIFERENCIAL

Ecuaciones diferenciales y modelos matem´
aticos
En muchos fen´omenos naturales las cantidades crecen o disminuyen con una rapidez
proporcional a su tama˜
no. Por ejemplo, es razonablesuponer que la rapidez de crecimiento
de una poblaci´on de animales o de bacterias sea proporcional a la cantidad de individuos en
la poblaci´on. Otros ejemplos se presentan al analizar la cantidad de un material radiactivo

4

EDOs - Primer Orden

que se est´a desintegrando o la cantidad de dinero en una cuenta bancaria con inter´es
compuesto continuamente. En condiciones ideales, si y representa lacantidad que aumenta
o disminuye a una velocidad proporcional a su magnitud en un instante dado t, el modelo
matem´atico representado por la ecuaci´on
y ′ = ky
permite predecir con mucha precisi´on lo que sucede en la realidad.
Otro problema ya abordado es el movimiento en ca´ıda libre. Siendo x(t) la posici´on de
la part´ıcula y m su masa, aplicando la segunda ley de Newton, tenemos que mx′′...