Apuntes de Geometria Analitica Conicas

LA P A R A B O L A

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
La definici6n excluye el caso en que el foco este sobre la directriz.Designemos por F y l, el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a 1 se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección

del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, esta, por definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta,tal como BB’, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en particular, una cuerda que pasa por el foco como CC’, se, llama cuerda focal.
La cuerda focal LL’ perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.
Ecuación de la parábola devértice en el origen y eje un eje coordenado. Veremos que la ecuación de una parábola toma, su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de 1os ejes coordenados.



La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es:

y2 = 4px

endonde el foco es el punto ( p , 0) y la ecuación de la directriz es x = - p . S i p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

S i el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es:

x2 = 4py

en donde el foco es el punto (0, p) ,y la ecuación de la directriz es y = - p. S i p > 0 , la parábola se abre hacia arriba; si p < 0 , la parábola se abre hacia abajo .



En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Ecuación de una parábola de vértice ( h , k ) y eje paralelo a1 eje X

La ecuación de unaparábola de vértice (h, k) y eje paralelo a1 eje X, es de la forma:

(y - k)2 = 4p(x - h)

siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.
S i p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.


S i el vértice es el punto (h, k) y eleje de la parábola es paralelo a1 eje Y, su ecuación es de la forma:

(x - h)2 = 4p (y - k)

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Una ecuación de segundo grado en las variables x e y que carezca del termino en xy puede escribirse en la forma:

Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X . Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje X, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales ocomplejas.
Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas a1 eje Y, dos rectas coincidentes paralelas a1 eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.


LA ELIPSE...